Perché un gruppo che ha quattro elementi di ordine due non esiste?
Il mio professore ha detto che, se rimuovi l'elemento identità e auto si inverte, il numero di elementi di ordine due dovrebbe essere dispari. Quindi, in un gruppo, il numero di elementi di ordine due non può essere quattro, perché?
Risposte
Osservazioni preliminari (motivate dal commento di bof di seguito). È difficile analizzare ciò che dici il tuo professore dice per alcuni motivi. In primo luogo, l'identità di un gruppo è il suo inverso, quindi "identità e inversioni di sé" è ridondante. In secondo luogo, un elemento di un gruppo è un auto-inverso se e solo se è l'identità o ha un ordine due. Quindi, se "rimuovi auto-inverse", non ci sono elementi di ordine due rimasti.
In ogni caso, ecco i fatti:
Fatto 1. Se$G$ è un gruppo finito di ordine dispari, quindi $G$ ha zero elementi di ordine 2.
Fatto 2. Se$G$ è un gruppo finito di ordine pari, quindi $G$ ha un numero dispari di elementi di ordine 2.
Fatto 3. Se$G$ è un gruppo arbitrario con un numero finito, ma diverso da zero, di elementi di ordine 2, quindi $G$ ha un numero dispari di elementi di ordine 2.
Quindi, se mettiamo tutto insieme, otteniamo la seguente descrizione.
Se $G$ è un gruppo, quindi vale esattamente una delle seguenti.
- $G$ non ha elementi di ordine 2.
- $G$ ha infiniti elementi di ordine 2.
- $G$ ha un numero dispari di elementi di ordine 2.
Nota che il fatto 3 generalizza il fatto 2, se si assume il$p=2$caso del Teorema di Cauchy , che dice che un gruppo finito di ordine pari ha un elemento di ordine 2 . in ogni caso, il$p=2$ il caso del Teorema di Cauchy segue direttamente dal Fatto 2. Quindi questo giustifica il dare prove separate dei Fatti 2 e 3.
Quindi iniziamo le prove.
Dimostrazione del fatto 1. Ciò segue dal Teorema di Lagrange , che implica che l'ordine di un elemento in un gruppo finito divide sempre l'ordine del gruppo.
Prova di fatto 2. Partizione$G$ in tre pezzi:
Pezzo 1: l'elemento identità
Pezzo 2: gli elementi di ordine maggiore di 2
Pezzo 3: gli elementi dell'ordine 2
C'è un numero pari di elementi nel pezzo 2 poiché ogni elemento nel pezzo 2 può essere accoppiato con il suo inverso, che è anche nel pezzo 2 e non è uguale all'elemento originale. (Qui usiamo il fatto che$x=x^{-1}$ iff $x$ ha ordine al massimo 2.)
Quindi il numero totale di elementi nei pezzi 1 e 2 è dispari. Da$G$ ha un ordine pari, anche il numero di elementi nel pezzo 3 è dispari.
Prova del fatto 3. (Vedi questa domanda: il numero di elementi di ordine 2 in un gruppo infinito . Ripeterò l'argomento di Mikko Korhonen.)
Permettere $G$ essere un gruppo e lascia $X$essere gli elementi dell'ordine al massimo 2. Assumere$G$ ha un elemento $t$ di ordine 2 (così $t\in X$). Partizione$X$in due pezzi. Il pezzo 1 sono gli elementi in$X$ che fanno il pendolare con $t$e il pezzo 2 è il resto. Quindi possiamo accoppiare ciascuno$x$ nel pezzo 1 con $xt$e possiamo accoppiarli ciascuno $x$ nel pezzo 2 con $txt^{-1}$. (È necessario verificare che questo sia un accoppiamento ben definito, ovvero, se$x$ è nel pezzo 1 allora $xt$ è nel pezzo 1 e distinto da $x$; e se$x$ è nel pezzo 2 allora $txt^{-1}$ è nel pezzo 2 e distinto da $x$.) Quindi entrambi i pezzi hanno un numero pari di elementi, quindi $X$ha un numero pari di elementi. Rimuovendo l'identità, otteniamo un numero dispari di elementi di ordine 2.