Permettere $x_0$essere un numero trascendentale, $x_{n+1}=\frac{3-x_n}{x_n^2+3x_n-2}$. Qual è il limite di $x_n$?

Question

Permettere$x_0$essere un numero trascendentale,$$x_{n+1}=\frac{3-x_n}{x_{n}^{2}+3x_{n}-2}$$Qual è il limite di$x_{n}$?

Scegliere$x_0=\pi$, ed è sembra che il limite di$x_n$è$-1$. Ma qual è la prova di questo$\pi$e altri numeri? Permettere$$f(x)=\frac{3-x}{x^{2}+3x-2}$$Quanto segue può essere utile.$$f'(x)=\frac{(x-7)(x+1)}{(x^{2}+3x-2)^2}$$ $$f(x)-x=\frac{-(x-1)(x+1)(x+3)}{x^{2}+3x-2}$$ $$f(x)+1=\frac{(x+1)^{2}}{x^{2}+3x-2}$$.

Answer 1

Permettere$f(x) = \frac{3-x}{x^2+3x-2}$. Se$\lim x_n$esiste, quindi$L = \lim x_{n+1}=\lim x_n$, quindi impostato$$L=f(L)$$

Ci sono tre soluzioni a questo:$L = -3, -1, 1$. Per trovare quello corretto, nota che per un piccolo quartiere intorno$-3$, hai$|f(x)+3|>|x+3|$, e intorno$1$, hai$|f(x)-1|>|x-1|$. Per entrambi$-3$e$1$, la differenza sarà resa ancora più grande. Intorno a$-1$d'altra parte, hai$|f(x)+1|<|x+1|$, quindi la differenza sta diminuendo (questa non è una prova rigorosa ma più intuitiva).

Quindi, per "la maggior parte"$x_0$, convergerà a$-1$. L'unico modo in cui convergerà$-3$o$1$è se converge esattamente in un numero finito di iterazioni. Ma perché ciò sia vero, deve essere una soluzione$$f^n(x_0) = -3$$(o$1$) per alcuni$n$, il che significa che deve essere algebrico. Pertanto, per tutti i trascendentali, il limite sarà$-1$.