Probabilità che un paziente abbia la malattia $X$

Question

Patologia $X$ è presente solo in $0.1$% di pazienti sottoposti a test. Il test è positivo$99$% delle volte in cui il paziente ha la malattia $X$. Se sei stato testato per la malattia e risulta positivo, allora la probabilità che tu abbia la malattia$X$ è $10$%. Qual è la probabilità che una persona risulti positiva quando non ha la malattia$X$?

Quello che ho provato:

Permettere $A$ essere la probabilità che il paziente abbia la malattia $X$, e $B$ essere la probabilità che risultino positivi.

Poi $P(A)=0.001$, il che implica $P(\bar{A})=0.099$ e $\displaystyle P(B/A)=0.99$. Ora dobbiamo trovare$\displaystyle P(B/\bar{A})$.

Abbiamo anche qui: $$P(B)=P(A)P(B/A)+P(\bar{A})P(B/\bar{A}).$$

Sembra che possiamo applicare il teorema di Bayes. Ma non capisco come applicare la formula qui.

Answer 1

Usando il teorema di Baye, la probabilità di risultare positivo è:

\ begin {align *} P (\ text {disease} | \ text {+ test}) = & \ \ frac {P (\ text {+ test} | \ text {disease}) P (\ text {disease}) } {P (\ text {+ test})} \\ P (\ text {+ test}) = & \ P (\ text {+ test} | \ text {disease}) P (\ text {disease}) + P (\ text {+ test} | \ text {$\neg$malattia}) P (\ text {$\neg$malattia}) \\ = & \ .99 * 0,001 + 0,999x \ end {align *}

Possiamo trovare $x = P(\text{+test}|\text{$\ neg$disease})$ risolvendo la seguente equazione (sto mescolando percentuali con decimali):

\begin{align*} 0.1 = \frac{.99 * 0.1\%}{.99*0.1\% + 99.9\%x}\\ .0099 + 9.99x = .099 \\ x = \frac{0.0891}{9.99} \approx 0.00891891892 \end{align*}

Significa che la probabilità di un test positivo dato che non hanno la malattia è approssimativamente $0.89\%$.