Problema di Cauchy con un parametro sui dati iniziali

Question

Ritenere

\begin{cases} y' = y^{\frac{1}{3}}\\ y(0)=k \in \mathbb{R} \end{cases}

• Per quali valori di$k$il problema ha un'unica soluzione locale?
• Dimostralo per gli altri valori di$k$il problema ha più di una soluzione

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io)$f(t,y)=y^{\frac{1}{3}}$è una funzione continua finita$\mathbb{R}^2$, mentre$f_y=-\frac{2}{3 y^{2/3}}$che è discontinuo in$0$. Pertanto, in qualsiasi quartiere di$(0,k)$insieme a$k\ne0$,$f_y$è continua, e quindi ho esistenza locale e unicità della soluzione.

ii) Per prima cosa lo noto$f(t,y)$non è Lipschitz, quindi non mi aspetto unicità. Infatti, per$k=0$,$y(t)=0$è una soluzione, e, per integrazione ho trovato anche$$y(t)=\sqrt{\Bigl( \frac{3t}{2} \Bigr)^3}$$

**È tutto corretto? **

Answer 1

La prima parte è corretta, la seconda no. Ma hai avuto una buona idea.

$y(t)=\sqrt{\big(\frac{3t}{2}}\big)^3=\Big(\frac{3t}{2}\Big)^\frac{3}{2}$poi$y'(t)=\frac{3}{2}\times\Big(\frac{3t}{2}\Big)^\frac{1}{2}\times\frac{3}{2}=\frac{3^2}{2^2}\times y^\frac{1}{3}\neq1\times y^\frac{1}{3}$.

Considera ora$y(t)=\sqrt{\big(\frac{2t}{3}}\big)^3$e controlla quello$y'=y^\frac{1}{3}$.