processo di elaborazione di una definizione o di un assioma?
Non sono uno studente di matematica ma sono molto interessato ai processi matematici. Una parte importante della matematica è dimostrazioni. I passaggi eseguiti sulle dimostrazioni sono tutti basati sugli assiomi o definizioni iniziali. Quindi la mia domanda è: gli assiomi iniziali sono basati sul buon senso e sull'osservazione del mondo reale? è normalmente così che viene creato il primo assioma o definizione iniziale di qualsiasi concetto matematico? In secondo luogo, può essere il caso in cui la definizione può essere sbagliata (poiché è una specie di presupposto ma molto buona) quando applichiamo la dimostrazione per dire qualcosa sul mondo? Spero di ottenere alcune intuizioni possibilmente dalle major di matematica o dai professori che si sono imbattuti in esso. Grazie!
Risposte
Esistono diverse raccolte di assiomi iniziali tra cui scegliere.
Oggi lo standard è la teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel con l'assioma della scelta. C'è anche un certo interesse per la teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel senza l'assioma della scelta, ma non è il mainstream.
Una cosa che dovrebbe essere chiarita è che c'è una grande differenza tra assiomi e definizioni. Gli assiomi sono cose estremamente semplici, super super super essenziali e basilari, come "due insiemi sono uguali se contengono le stesse cose" o "esiste qualcosa come un insieme infinito". Queste sono cose su cui non puoi davvero discutere se vuoi avere un sistema matematico che abbia un senso. Ci sono pochissime opzioni quando si tratta di che tipo di assiomi sono ragionevoli.
Le definizioni, d'altra parte, sono molto più specifiche e hai molte opzioni lì. Chiedi se una definizione può essere sbagliata... beh, non può essere davvero sbagliata , no, perché è qualcosa che stai assumendo. Ma una definizione può non essere utile, o può non riuscire a descrivere qualcosa che tu pensi che dovrebbe. Ad esempio, c'è sempre qualche discussione sul perché$1$non è considerato un numero primo. Quello che stai veramente chiedendo è se la definizione di numero primo può includere$1$. Sia che tu lo decida$1$è un numero primo o no non cambia la verità reale dietro la matematica, ma significherà che devi formulare le cose in modo diverso. Se dovessi dire$1$è primo, allora la maggior parte dei teoremi sui numeri primi dovrebbero riguardare "numeri primi tranne 1", quindi alla fine ha più senso non chiamare$1$un numero primo. Questo è quanto di più vicino si ottiene a una definizione "sbagliata". Le definizioni sono in definitiva solo una questione linguistica.
Affronterò questo argomento da qualcosa di simile a una prospettiva platonica.
Sappiamo tutti che esiste un "numero che conta". Se abbiamo una raccolta discreta e finita di mele, possiamo descrivere la raccolta dicendo che ce ne sono 2, 3 o addirittura zero. Sappiamo anche che quando mettiamo tre mele con sette, otteniamo sempre dieci mele. E allo stesso modo, quando abbiamo una collezione di tre paia sommata a una di sette, otteniamo una collezione di dieci paia. Questo ci porta all'intuizione che ci sono alcune proprietà inerenti a cose come "sette" e "tre" che sono indipendenti da mele e pere. Cioè, questo ci porta alla nozione che i numeri (e l'operazione di addizione) esistono di per sé.
Poiché abbiamo deciso che esiste una "raccolta" di "numeri da contare", il passo successivo è descriverne le proprietà nella speranza di fare deduzioni su questi "numeri da contare" da cose che sappiamo essere vere su di essi. Gli assiomi sono quindi visti come un modo per specificare logicamente ciò che stiamo cercando di descrivere.
Supponiamo che ti abbia parlato di una raccolta matematica nota come$\mathbb{N}$che è la raccolta di "contare i numeri". Come potrei trasmetterti matematicamente ciò che sto descrivendo?
Mentre descrivo l'aggiunta di ogni assioma, ti incoraggio a visualizzare il "cattivo$\mathbb{N}$" esempi che sto fornendo estraendo$\mathbb{N}$come una raccolta di punti con una freccia in mezzo$n$e$S(n)$. Le immagini saranno più chiare se riesci a visualizzarle.
Probabilmente inizierei col dirti che qualcosa si chiama$0$è un elemento di$\mathbb{N}$e quello per ogni$n$che è un elemento di$\mathbb{N}$, abbiamo un elemento noto come$S(n)$che è anche dentro$\mathbb{N}$.
Questo non ti dice molto di niente$\mathbb{N}$. La collezione potrebbe avere un minimo di$1$elemento (forse contiene solo$0$, e$S(0) = 0$) o una raccolta di elementi arbitrariamente grande.
Quindi aggiungiamo il principio che per ogni$n$,$S(n) \neq 0$. Cosa ci dice questo$\mathbb{N}$?
Ce lo dice$\mathbb{N}$ha almeno due elementi,$0$e$S(0)$. Ma potrebbe essere quello$S(S(0)) = S(0)$- questo è,$\mathbb{N}$potrebbe avere esattamente 2 elementi. Ovviamente, un insieme con due elementi non è ciò che intendiamo per insieme di "numeri da contare", quindi dovrò essere più specifico.
Il prossimo principio che vorrei articolare è quello per ogni$n$e ogni$m$, Se$S(n) = S(m)$poi$n = m$. Questo ce lo dice$\mathbb{N}$deve avere infiniti elementi. Ma non descrive necessariamente ciò che stiamo cercando. Ad esempio, avremmo potuto$\mathbb{N}$costituito da due catene$0, S(0), S(S(0)), ...$e$w, S(w), S(S(w)), ...$dove$w$non è il successore di nessuno$n$. Ovviamente non è quello che stiamo cercando.
Potremmo provare ad aggiungere in un assioma che ogni$n$è o$0$o un successore. Tuttavia, questo lascia ancora in gioco la possibilità che$\mathbb{N}$potrebbe consistere in sequenza$0, S(0), S(S(0)), ... $insieme ad alcuni$w$tale che$w = S(w)$. Questo ovviamente non è ciò che intendiamo.
Potremmo provare ad aggiungere un altro assioma che no$n$può eguagliare$S(n)$. Ma questo lascia ancora aperta un'altra possibilità: una "catena single-ended" composta da$0, S(0), S(S(0)), ...$e una "catena a doppia estremità"$..., S^{-1}(S^{-1}(w)), S^{-1}(w), w, S(w), S(w), S(S(w)), ...$. Ancora una volta, questo non è come dovrebbe essere "contare i numeri"!
Per caratterizzare completamente i numeri naturali, avrei quindi bisogno dell'assioma dell'induzione. (Per semplicità, sorvoleremo sulle differenze nella logica del 1° e 2° ordine). Questo lo dice per ogni proprietà$P$che un numero potrebbe avere (dove$n$avere proprietà$P$si scrive come$P(0)$), Se$P(0)$e se per ogni$n$,$P(n)$implica$P(S(n))$, allora deve essere il caso che per tutti$n$,$P(n)$.
Questo assioma è sufficiente per specificare esattamente cosa intendiamo per "contare i numeri".
Allo stesso modo, gli assiomi della teoria degli insiemi sono progettati per descrivere una nozione astratta di "insieme". Generalmente, la nozione di insieme in ZFC è una sorta di albero ben fondato. Tuttavia, possiamo provare cose interessanti sul sistema logico di ZFC trovando altre raccolte che apparentemente hanno poco a che fare con la nozione intuitiva di insieme ma che comunque soddisfano gli assiomi di ZFC. Questo è il modo in cui si può dimostrare, ad esempio, l'indipendenza dell'ipotesi del continuo (anche se ovviamente è necessaria molta sofisticazione matematica per comprendere questa dimostrazione).
Un assioma può essere "sbagliato"? Secondo la scuola di pensiero secondo cui gli assiomi sono lì per descrivere cose matematiche che esistono di per sé, un assioma è "sbagliato" se non descrive gli oggetti che pensi che descriva. Questo è ovviamente molto soggettivo nella pratica: per alcuni l'assioma della scelta è una proprietà evidente degli insiemi, mentre per altri evidentemente non può esserlo.
C'è un modo per dimostrare senza ombra di dubbio che un assioma è sbagliato. Potresti dimostrare che l'assioma è incoerente, cioè che è possibile derivarne una contraddizione. Bertrand Russell notoriamente ha dato alla teoria degli insiemi uno spavento spaventoso usando gli assiomi ampiamente accettati della teoria degli insiemi per dimostrare il paradosso di Russell. Dopo averlo fatto, tutti concordarono sul fatto che poiché le contraddizioni non possono esistere, non c'è modo che gli assiomi che portano alla contraddizione possano essere tutti veri. Ciò ha portato alla revisione degli assiomi della teoria degli insiemi.
È interessante notare che un paradosso simile è stato trovato durante lo sviluppo della teoria dei tipi di Martin-Lof, una teoria con caratteristiche molto diverse dalla teoria degli insiemi, considerando un "tipo di tutti i tipi" proprio come la teoria degli insiemi una volta considerata erroneamente un "insieme di tutti gli insiemi". . Ciò suggerisce che ci sono alcuni profondi vincoli di fondo su quanto possano essere "grandi" le collezioni che sono in un certo senso indipendenti dal fondamento.
Io stesso sono più incline alla visione formalista degli assiomi, che suona più o meno così:
Quando i matematici dimostrano qualcosa, stanno solo seguendo una serie di regole in un gioco per raggiungere un risultato. Non c'è necessariamente alcun significato filosofico nel fatto che qualche teorema valga in ZFC oltre al fatto che, seguendo gli assiomi di ZFC e le regole della logica del primo ordine, è possibile dimostrare quel teorema. ZFC non "descrive" necessariamente una "vera collezione di set" o addirittura una vera collezione; piuttosto, è un insieme di assiomi che possono essere applicati a un'ampia gamma di costruzioni matematiche, molte delle quali in apparenza non si somigliano affatto.
Tuttavia, tendo a credere che "esista davvero" una cosa come$\mathbb{N}$. In tal senso, non prendo le posizioni estreme dei finitisti, i quali affermano che (in un certo senso, alcuni tipi di) infiniti non esistono e quindi qualsiasi teoria matematica che si occupi di oggetti infiniti ha valore solo nella misura in cui può dire noi verità sugli oggetti finiti.
Per quanto riguarda le prove applicate alle cose nel "mondo reale", questo si avventura più nel regno della fisica e delle scienze che nella matematica pura. La maggior parte degli scienziati, come fece notoriamente Feynman, direbbe che l'unico test di un fatto scientifico è l'esperimento. Da questo punto di vista, il fatto che la matematica possa aiutarci a dare un senso al mondo è, nella peggiore delle ipotesi, una felice coincidenza e nella migliore delle ipotesi il risultato del fatto che gli esseri umani hanno sviluppato la matematica appositamente per cercare di comprendere il mondo reale.
Dopotutto, la teoria del "contare i numeri" è nata originariamente per comprendere fenomeni come mettere tre mele con sette, proprio come la teoria della geometria piana è nata per comprendere le superfici fisiche reali e la teoria del calcolo è nata per descrivere la fisica. Non sorprende che i nostri strumenti matematici facciano esattamente ciò per cui li abbiamo progettati.