Provare un certo sottoinsieme è un sottocomplesso CW
Ho qualche problema con un dettaglio in una dimostrazione dalla Topologia algebrica di Hatcher (Prop. A.1 a pag. 520 per coloro che sono interessati, anche se non credo sia rilevante): Abbiamo un complesso CW$X$ e un $n$-cellula $e_\alpha^n \subset X$e l'immagine della mappa di collegamento di questa cella è contenuta in un sottocomplesso finito $A \subset X$. Hatcher lo afferma$A \cup e_\alpha^n$è un sottocomplesso finito, ma non riesco a capire perché. Sto cercando di dimostrare che il confine di$e_\alpha^n$ è contenuto in $A$ma non sto andando da nessuna parte. È vero in generale che la chiusura di un$n$-cell è la sua unione con l'immagine della sua mappa allegata?
EDIT: Vorrei dimostrarlo senza invocare il fatto che i complessi CW sono Hausdorff, dal momento che il libro non lo ha ancora dimostrato.
Risposte
È estremamente, estremamente facile mostrare che un complesso CW è Hausdorff, includilo nella tua dimostrazione se ne sei preoccupato.
Con questo fatto, la chiusura di una cella aperta $e \rightarrow X$ è l'immagine di $e \cup S^n \rightarrow X$dato dall'inclusione della cella aperta e della caratteristica mappa sul confine. Questo è perché$e \cup S^n = D^{n+1}$è compatto, e l'immagine di un insieme compatto è compatta che in uno spazio di Hausdorff implica chiuso. Questo è il più piccolo insieme chiuso contenente l'immagine di$e$ poiché qualsiasi punto nell'immagine della mappa caratteristica si trova nel confine dell'immagine di $e$.