Quadrilatero all'interno di un poligono senza lato comune, approccio diverso.
Domanda: Trova il numero di quadrilateri formati unendo i vertici di un decagono, che non condividono un lato comune con il decagono.
Approccio:
- Seleziona prima un vertice: -Questo può essere fatto in $10\choose1$=$10$ modi.
- Consideriamo ora i vertici tranne quello prescelto e i due ad esso adiacenti: es$7$vertici. Dobbiamo sceglierne tre, cosa che può essere eseguita$7\choose3$modi. Tuttavia, questi$7\choose3$ i casi includono:
- Casi in cui $2$ i vertici sono adiacenti: $6$ modi per scegliere 2 vertici adiacenti e $5$ modi per scegliere il 3 ° vertice: così $30$ casi.
- Casi in cui tutti $3$ i vertici sono adiacenti: $5$ modi per farlo.
Utilizzando l'IEP, i casi che dobbiamo considerare per scegliere 3 vertici sono: $7\choose3$$-30 + 5 = 10. $ La risposta finale dovrebbe essere $ 10 \ scegli1 $ $ * 10 * 1/4 $ . Dividiamo per 4 poiché ogni caso viene contato 4 volte: ad esempio se il quadrilatero avente il numero di vertici :( $ 1,3,7,9 $ ) viene conteggiato quando abbiamo scelto $ 1 $ come primo vertice, e anche quando abbiamo scelto $ 3 $ come primo vertice e così via.
La risposta finale corrisponde a quella data nel mio libro: sebbene il mio libro scriva la risposta come: $$ 1/4 * {10 \ choose1} * {5 \ choose3} $$
Qual è l'interpretazione del termine $ {5 \ choose3} $ ?
La risposta a questo potrebbe risultare in un approccio migliore di quello che ho fatto: e potrebbe anche essere usato per $ k $ poligoni lati all'interno di poligoni $ n $ lati, poiché è difficile formare una forma chiusa in base a ciò che ho fatto, per un generale Astuccio.
Risposte
Ci sono $10$modi per scegliere il primo vertice. Se ti muovi in senso orario intorno al decagono, lascia$x_1$ essere il numero di vertici tra il primo e il secondo vertice, $x_2$ essere il numero di vertici tra il secondo e il terzo vertice e $x_3$ essere il numero di vertici tra il terzo e il quarto vertice e $x_4$essere il numero di vertici tra il quarto e il primo vertice. Poi$$x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 10 - 4 = 6 \tag{1}$$che è un'equazione negli interi positivi poiché deve esserci almeno un vertice tra i vertici successivi del quadratilatero. Una particolare soluzione dell'equazione 1 corrisponde al posizionamento di$4 - 1 = 3$ segni di addizione in $6 - 1 = 5$ spazi tra quelli successivi in una fila di sei unità. $$1 \square 1 \square 1 \square 1 \square 1 \square 1$$ Ad esempio, la scelta del secondo, quarto e quinto spazio corrisponde alla soluzione $x_1 = 2$, $x_2 = 2$, $x_3 = 1$, e $x_4 = 1$. Il numero di soluzioni di equazione$1$ è $$\binom{6 - 1}{4 - 1} = \binom{5}{3}$$Tuttavia, come noti, se moltiplichiamo semplicemente questi numeri, avremo contato ogni quadrilatero quattro volte, una volta per ogni modo avremmo potuto designare uno dei vertici del quadrilatero come il "primo" vertice. Quindi, ci sono$$\frac{1}{4}\binom{10}{1}\binom{5}{3}$$ quadrilateri che possono essere formati unendo vertici non adiacenti di un decagono.
Per evitare di avere un lato comune con il decagono, deve esserci almeno un vertice tra i vertici di due quadrilateri consecutivi.
I vertici totali che non appartengono al quadrilatero sono $6$. Ci sono$4$slot tra i vertici del quadrilatero consecutivo. Stelle e bar$\binom{6-1}{4-1}=\binom{5}{3}$