Qual è la caratteristica Eulero di un quadrato? (Confusione con il teorema di Gauss-Bonnet)
Highschooler qui, cercando di conoscere la caratteristica di Eulero, la curvatura gaussiana e il teorema di Gauss-Bonnet che li collega insieme.
Secondo il teorema di Gauss-Bonnet: curvatura totale $= 2 \pi \times$ caratteristica di eulero.
Ecco la mia confusione. Un quadrato (ad esempio un foglio di carta piatto) ha una curvatura gaussiana pari a zero. Ma seguendo la formula$\chi = V - E + F$, Calcolo che la caratteristica Eulero di un quadrato è $1$.
Questo perché i vertici $V = 4$, bordi $E = 4$ e volti $F = 1$. Perciò$\chi = 4 - 4 + 1\Rightarrow \chi = 1$.
Quindi ottengo l'equazione $0 = 2\pi 1$, ie $0 = 2\pi$.
Dov'è il mio errore?
Risposte
La prima difficoltà è che la versione del teorema di Gauss-Bonnet che sembri usare è per 2-varietà compatte senza confine. Una sfera è una 2-varietà compatta senza confine. Il confine di un cubo (sei quadrati incollati lungo i bordi) è un 2-collettore compatto senza confine. Un quadrato (considerato chiuso poiché si dice che i vertici e gli spigoli fanno parte della varietà) è una 2-varietà compatta con contorno.
Nel descrivere una varietà, di solito si omette "senza confine". Uno di solito include "con confine". Lo stato predefinito di un collettore non ha confini.
Esiste una versione di Gauss-Bonnett per 2-varietà compatte con contorno. $$ \int_M K \,\mathrm{d}A + \int_{\partial M} k_g \,\mathrm{d}s = 2 \pi \chi(M) \text{,} $$dove il primo integrale è della curvatura gaussiana sulla superficie e il secondo integrale è la curvatura geodetica sul confine.
Il quadrato chiuso è omeomorfo al disco chiuso. Il confine del disco chiuso è un cerchio. La curvatura geodetica del bordo del cerchio di un disco misura quanto quella curva si chiude in modo simile a un cerchio (tanto quanto la curvatura gaussiana misura quanto una superficie si chiude in modo simile alla sfera). Naturalmente, un cerchio si chiude esattamente come fa un cerchio, quindi questo integrale contribuisce$2\pi$ a sinistra quando studi un disco chiuso o un quadrato chiuso.
(C'è un sottilmente qui. È facile confondere la curvatura "estrinseca" causata da una specifica inclusione con la curvatura geodetica ("intrinseca"). Possiamo incorporare il nostro cerchio lungo molte rivoluzioni di un'elica, quindi all'esterno dell'elica di nuovo al punto in cui noi iniziato. Questo incorporamento ha molta curvatura, ma un cerchio è solo un cerchio ...)
Una difficoltà meno critica è che un quadrato sembra piatto solo quando lo incorpori in un modo particolare. È possibile raggomitolarsi un up quadrato in un tubo - che non è piatta. Puoi persino piegare questo tubo per far incontrare le estremità, che di nuovo non è piatto.
Se a un quadrato incolliamo insieme i bordi superiore e inferiore [*] e poi incolliamo i due nuovi cerchi insieme, otteniamo una 2-varietà compatta (senza contorno). Questo oggetto è un toro . A causa degli incollaggi, tutti e quattro i vertici del quadrato sono stati incollati in un vertice ed entrambe le coppie opposte di bordi del quadrato sono state incollate insieme. Il risultato ha un vertice, due bordi e una faccia, con la caratteristica di Eulero zero e la curvatura totale zero.
Questo zero è quello che ti aspettavi da un quadrato piatto. Potrebbe essere sorprendente che la nostra inclusione debba mostrare tutta la "curvatura" di un toro per ottenere una curvatura gaussiana nulla - ma tutta quella "curvatura" è una curvatura estrinseca.
[*] Dobbiamo stare attenti a come facciamo questo incollaggio. Per la prima coppia di bordi dovremmo incollare in modo da ottenere un anello non una striscia di Moebius . Per l'incollaggio dei cerchi, se incolliamo allo stesso modo del primo incollaggio, otteniamo un toro. Se incolliamo "il contrario", otteniamo una bottiglia di Klein . Naturalmente, la bottiglia di Klein con curvatura costante è piatta , quindi ha anche curvatura gaussiana pari a zero.
Il raggiungimento del teorema di GB è mettere in relazione la curvatura totale di una superficie $S$ che è delimitato da una curva $c$ a (i) la topologia di $S$, e (ii) la curvatura "lungo $c$". Per una superficie chiusa, che non ha confini, la" curvatura lungo $c$"termine finisce per essere zero. Quindi otteniamo una relazione tra la curvatura totale di $S$ e la topologia di $S$ --- la cosa che citi come teorema di GB.
Per le superfici con confine, devi includere la curvatura lungo il confine e se il confine ha "angoli", devi includere anche "curvatura" lì. Finisci per osservare tre tipi di curvatura:
Curvatura agli "angoli" del confine, cioè cose a 0 dimensioni
Curvatura lungo gli archi del confine, cioè cose unidimensionali
Curvatura sull'interno della superficie, cioè una cosa bidimensionale
E una sorta di somma di questi finisce per essere correlata a tre tipi di oggetti topologici:
Un conteggio di cose a dimensione 0 (vertici)
Un conteggio di cose unidimensionali (bordi)
Un conteggio di cose bidimensionali (facce)
fornendo un'interessante simmetria tra le due somme.
Non scriverò la formula, perché farlo bene richiede di impostare correttamente gli orientamenti , e questo è un compito per il quale personalmente ho bisogno di una lavagna piuttosto che di testo. Ma i contributi 0-dimensionali alla curvatura sono "angoli esterni" ai vertici. E il mio esempio preferito "portalo in tasca così posso ricordare" consiste in un triangolo sulla superficie della terra:
Il polo Nord $N$è un vertice. Un bordo si estende da esso attraverso Greenwich, nel Regno Unito fino a un punto$G$sull'equatore. Un altro si estende attraverso il Guatemala (longitudine 90 O) fino a un certo punto$A$sull'equatore. E l'arco di 90 gradi dell'equatore da$A$ per $G$completa il triangolo. Ci sono 3 vertici, 3 bordi, una faccia, quindi$V-E+F = 1$. Questo è il lato topologico. Dal punto di vista della "geometria", la curvatura totale di una sfera è$4\pi$, quindi questo triangolo, che è $1/8$ della sfera, ha una curvatura totale $\frac12 \pi$. Ogni bordo del triangolo è una geodetica, quindi non ha curvatura lungo la superficie. E ad ogni vertice, l'angolo esterno è di 90 gradi, cioè$\pi/2$, per un totale di $3\pi/2$ai vertici. Aggiungendo la curvatura della superficie e sottraendo la (zero) curvatura del bordo, otteniamo$2\pi$, che è davvero $2\pi (V - E + F)$, come previsto.
Se riduci questo triangolo verso il basso fino a quando non è molto piccolo, ad esempio adattandolo su un pezzo di carta, il termine di curvatura della superficie scende essenzialmente a zero ei tre angoli esterni sono tutti $2\pi/3$, quindi ancora una volta la somma è $2\pi$.