Qual è la cerniera?

Question

1. Definizione di un "TFT aperto-chiuso"
Considerare la seguente categoria di cobordismi aperto-chiuso$Cob_2^{o/c}$:

• Gli oggetti sono varietà unidimensionali lisce orientate compatte possibilmente con bordo (cioè unioni da diffeomorfe a disgiunte di cerchi orientati e intervalli orientati).
• I morfismi sono classi di equivalenza dei bordismi. Qui, un bordismo$B:M \rightarrow N$ è una varietà bidimensionale orientata liscia $B$ insieme ad un orientamento che preserva la mappa liscia (non necessariamente suriettiva) $\phi_B: \overline M \coprod N \rightarrow \partial B$ questo è un diffeomorfismo alla sua immagine.

Si può definire una classe di equivalenza su questi bordismi, una composizione di morfismi, una struttura monoidale e così via per rendere $Cob_2^{o/c}$ in una categoria monoidale.

Un TFT aperto-chiuso è definito come un funtore monoidale simmetrico$$Z: Cob_2^{o/c} \rightarrow vect(\mathbb k).$$

Vediamo ora il cerchio (orientato) $S^1$ e l'intervallo (orientato) $[0,1]$. Consideriamo gli spazi vettoriali$Z(S^1)$ e $Z([0,1]).$

2. Domanda Le
mie note di lezione affermano quanto segue:

La cerniera fornisce una mappa lineare $i_*: Z(S^1) \rightarrow Z([0,1]).$

• Come viene definita la cerniera ? Suppongo sia un bordismo$S^1 \rightarrow [0,1]$?

Answer 1

Idealmente, chiederesti a chiunque abbia scritto quelle dispense; è un po 'negligente da parte loro non includere un'immagine o qualcosa del genere.

Ecco la mia ipotesi, questo sembra il cobordismo più "ovvio" $S^1 \to [0, 1]$: inizia con un cilindro (l'identità cobordismo $S^1 \to S^1$) e stringere un'estremità per chiuderla. (Quindi è un po 'come una borsa con zip, immagino.)