Qual è la curvatura media di un cilindro infinitamente lungo?

Question

Qualcuno può aiutarmi a capire come posso calcolare la curvatura media di un cilindro di raggio infinitamente lungo$R$? Conosco la definizione di curvatura media come

$H = \frac{1}{2}(\kappa_1 + \kappa_2)$

dove$\kappa_i$è il$i$esima curvatura principale. Dal momento che il cilindro è infinitamente lungo, credo$\kappa_2 = 0$(lungo l'asse). Qualcuno può confermarlo?

Quindi la curvatura media di un cilindro infinitamente lungo con raggio$R$sarebbe semplicemente

$H = \frac{1}{2R}$

Grazie per l'aiuto!

Answer 1

Il tuo risultato è corretto.

Scegli un punto sulla superficie cilindrica. Devi convincerti che una direzione principale è perpendicolare all'asse del cilindro (ma partendo dal tuo punto della superficie). Lungo questa direzione, la superficie appare come un cerchio con raggio$R$, quindi la curvatura principale per questa direzione è$\kappa_1=\frac1R$. L'altra direzione principale è parallela all'asse del cilindro, e lungo questa direzione, le superfici sembrano (localmente vicino al tuo punto) come una linea retta, quindi$\kappa_2=0$. Quindi dalla formula$H=\frac12 (\kappa_1+\kappa_2)$ottieni la curvatura media di cui parli.

Come dice TonyK, questo è lo stesso per qualsiasi punto tu scelga. Quindi, se consideri$H$come funzione, mappando ogni punto sulla superficie a un numero reale, quindi$H$è costante, per la superficie cilindrica.

Come si vede, la curvatura media è una proprietà locale , quindi non importa se il cilindro è infinitamente lungo oppure no; fintanto che c'è un intorno intorno al punto considerato, dove la superficie è un cilindro, allora la curvatura media in quel punto è$\frac1{2R}$.