Qual è la differenza tra queste due soluzioni di questa domanda di probabilità?
Il problema: 8 palline identiche vengono messe a caso in tre sacchi. Qual è la probabilità che il primo sacchetto contenga 3 palline?
La soluzione che ho trovato: possiamo distribuire 8 palline identiche tra 3 sacchetti diversi in 45 modi. Di questi 45 modi, in 6 modi, il primo sacchetto conterrà esattamente 3 palline. Quindi, la probabilità è$\frac{6}{45} = \frac{2}{15} = 0.13333$
Ma con la distribuzione binomiale, ed è così che la maggior parte delle persone (su Quora) ha risolto questa domanda, e anche questo approccio sembra essere piuttosto intuitivo, la probabilità che una pallina venga messa nella prima borsa è 13. La probabilità che esattamente 3 delle 8 palline finiranno nel primo sacchetto si può trovare utilizzando la distribuzione binomiale:
8C3 x (1/3)^3 x (1 - 1/3)^5 = 0.273
Voglio solo sapere, perché le risposte di questi due approcci sono molto diverse?
Risposte
Il problema dice che le palline sono posizionate "a caso", ma non specifica la distribuzione casuale o il processo mediante il quale vengono posizionate quelle palline. La risposta dipende sicuramente da tali informazioni. Per esempio:
- Se qualcuno elenca tutti i 45 modi in cui le palline potrebbero finire, e poi sceglie uno di quei 45 modi uniformemente a caso, allora la risposta è$2/15$come hai detto.
- Se, indipendentemente , ogni pallina viene posta uniformemente in uno dei tre sacchetti in modo casuale, allora la risposta è$1792/6561$come diceva la risposta di Quora.
Queste non sono le uniche due possibilità. Se qualcuno lancia una moneta, e mette tutte le palline nel primo sacchetto se la moneta è testa e mette tutte le monete nel secondo sacchetto se la moneta è croce, questo è ancora mettere le palline "a caso", ma la risposta a la domanda sarebbe$0$.
Abbiamo sempre bisogno di specificare una distribuzione di probabilità. Se intendiamo che le palline vengano messe nei sacchetti in modo uniforme e indipendente, dovremmo dirlo (anche se questa sarebbe la mia ipotesi migliore sulle intenzioni dello scrittore).