Quali sono alcuni dei primi esempi di continuazione analitica?

Jan 25 2021

Mi chiedo come lo sapesse Riemann $\zeta(z)$potrebbe essere esteso a un dominio più ampio. In particolare, chi è stata la prima persona ad estendere esplicitamente il dominio di una funzione a valori complessi e qual era la funzione?

Risposte

8 TomCopeland Jan 26 2021 at 00:34

(Espanso 1/26/21

Per prima cosa, vorrei sottolineare per i non madrelingua inglese che l'uso dell'articolo "a" nella frase "una funzione a valori complessi" significa che la domanda non è esclusivamente in riferimento alla funzione di Riemann o a qualsiasi altra funzione zeta. Include qualsiasi funzione il cui dominio è un insieme di reali, quindi interpreto la domanda come "Chi è il primo ad aver pubblicato un'estensione del dominio di una funzione significativa da un insieme di reali a qualche dominio continuo del complesso, e qual era quella funzione? " Per me, il significato esatto del termine continuazione analitica e se sia unico o meno è una questione diversa.

La prima frase e molti dei commenti si concentrano sulla funzione zeta di Riemann. Riemann non era da solo ei suoi interessi erano molto più ampi di quanto l'attenzione a volte quasi ossessiva oggi sulla RH potrebbe implicare. I suoi interessi comprendevano praticamente tutta l'analisi complessa, quindi era naturale per lui considerare estensioni di funzioni reali a funzioni complesse.

Difficile credere (sa di qualche tipo di pregiudizio regionale) che nessun matematico prima di Eulero si sia svegliato una mattina e abbia pensato: "E se modifico le mie vere formule per includere quella folle radice quadrata di -1?" Roger Cotes era pronto a farlo in modo significativo con il suo interesse per l'astronomia e la meccanica celeste; familiarità con il lavoro del suo collega Newton sulle ripetizioni in serie delle funzioni trigonometriche, le loro inverse, il calcolo e la meccanica newtoniana; utilizzo delle tavole logaritmiche introdotte all'inizio del 1600 da Napier per trattare calcoli con grandi numeri incontrati nel rilievo della Terra e dei cieli; e lavorare sull'interpolazione (Cotes e Newton).

Lasciatemi sottolineare ancora una volta che Cotes aveva familiarità con l'inversione compositiva delle serie di potenze di Newton (una formula include la versione associahedron della formula di inversione di Lagrange per le serie formali, vedi Ferraro sotto), inclusa quella per la funzione esponenziale, e, come notato da Griffiths ' commento al post " The making of the logarithm " di Freiberger: Senza queste tabelle di logaritmi non ci sarebbe la teoria di Nicholas Mercator dell'area sotto un'iperbole simmetrica uguale al logaritmo della distanza lungo l'asse x, né della reversione di Isaac Newton della formula dell'iperbole per ottenere la serie infinita per l'antilogaritmo $e^x$. (Mappe di Mercatore, cominciando a vedere i punti?) Infatti, Ferraro discute alle pagine 74 e 75 di "The Rise and Development of the Theory of Series fino all'inizio degli anni 1820" come Newton abbia invertito le serie di potenze per il logaritmo$-\ln(1-x)$ per ottenere la serie di potenze dell'antilogaritmo $1- e^{-x}$. (Newton con la sua superba padronanza della geometria e dell'analisi avrebbe sicuramente notato la semplice relazione del teorema della funzione inversa anche qui tra le derivate delle due serie.)

Di conseguenza, sembra naturale che alla nascita del calcolo e della sua associazione con serie di potenze e inverse compositive, Cotes scrisse nel 1714, quando Eulero aveva sette anni,

$$ ix = \ln[ \;\cos(x) + i \sin(x) \;]$$

una versione nascente della favolosa formula di Eulero del 1748 (cfr. Wikipedia )

$$ e^{i\theta} = \cos(\theta) + i \sin(\theta).$$

Un evidente controllo con la derivata (o le flussioni) verifica la formula senza l'uso esplicito dell'esponenziale

$$ \frac{d}{dx} (ix +constant) = i = \frac{d}{dx} \; \ln[ \;\cos(x) + i \sin(x) \;]= \frac{-\sin(x) + i \cos(x)}{\cos(x) + i \sin(x)},$$

che sono sicuro fosse SOP per Newton e Cotes - applicazione della regola della catena, alias teorema della funzione inversa in questo caso, $dx = df(f^{-1}(x)) = f'(f^{-1}(x)) \; (f^{-1})'(x) \; dx$, il che rende davvero ovvia la formula.

In "La storia dei concetti esponenziali e logaritmici", Cajori spiega come John Bernoulli considerasse le soluzioni di un'equazione differenziale trasformata dai reali all'immaginario nel 1702 e fornisce la derivazione di Cotes della sua formula, che Cotes pubblicò nel 1714 e 1722. Cajori afferma anche che successivamente Eulero non ha esitato dall'usare numeri immaginari.

La formula di Eulero come scritta oggi ha dovuto attendere lo sviluppo da parte di Eulero e colleghi della rappresentazione simbolica della funzione esponenziale $\exp(z) = e^z$ con $e$essendo la costante di Eulero, a volte indicata come costante di Napier poiché si trovava nelle tabelle di registro di Napier. Questo dopo che molti calcoli alla base del registro erano stati spiegati da Huygens e altri. La funzione esponenziale a volte veniva anche chiamata "antilogaritmo", riflettendo la priorità del registro, come indicato nel post di registro.

La formula logaritmica di Cote è un'estensione dai reali positivi al regno dei numeri complessi dell'argomento del logaritmo in un modo piuttosto più difficile della semplice sostituzione $n$ nella serie rep di $\zeta(n)$ da numeri reali sulla retta reale e poi ad altri numeri nel piano complesso.

Secondo l'articolo di Wikipedia su Cotes, pubblicò un importante teorema sulle radici dell'unità (e diede il valore di un radiante per la prima volta) nel 1722 in "Theoremata tum logometrica tum triogonometrica datarum fluxionum fluentes exhibentia, per methodum mensurarum ulterius extensam "(Teoremi, alcuni logoritmici, altri trigonometrici, che forniscono i fluidi di dati flussi con il metodo di misure ulteriormente sviluppato). Comprendeva piuttosto bene Trig, e da questa prospettiva, sia le formule di Cotes che quelle di Eulero possono essere considerate come la continuazione delle soluzioni di$|x| = 1$nel piano complesso. Le soluzioni definiscono la funzione molto semplice con dominio 1 e -1 e intervallo 1, che viene poi continuata analiticamente come un cerchio di raggio 1 nel dominio complesso - un tipo di interpolazione (passa il mouse sopra il collegamento di interpolazione nel Wiki su Roger Cotes ) soddisfacendo una semplice equazione funzionale$|f(x)|=1$. (Altri esempi di tipi di interpolazione / continuazione analitica da funzioni con domini interi discreti a quelle con domini complessi continui (relativi a Newton e interpolazioni in serie sinc / cardinali) sono forniti in questo MO-Q e in questo MSE-Q .)

Da una prospettiva più ampia, la formula del registro di Cotes è un chiaro esempio di continuazione analitica del registro come una mappatura dai numeri reali al reale a una mappatura del complesso al complesso. Cotes era, ovviamente, consapevole che (effettivamente utilizzato, e avrebbe dato per scontato che chiunque avesse familiarità con il registro lo sapesse anche), per$u,v > 0$,

$$\ln(u)+\ln(v) = \ln(uv),$$

così scrisse la parte più difficile della continuazione analitica del logaritmo dai reali positivi al complesso (sebbene non spiegasse esplicitamente la molteplicità)

$$\ln(r) + ix = \ln[\; r\; (\;\cos(x) + i \; \sin(x)\;) \;].$$

Riferimenti in Wikipedia: John Napier , The History of Logarithms , Logarithm , Roger Cotes , Euler's Identity , Euler's Formula .

Oltre alla somma di Eulero con argomenti complessi, Eulero fu il primo ad estendere il fattoriale alla funzione gamma per argomenti complessi per sviluppare un calcolo frazionario con la sua rappresentazione integrale ibrida Mellin-Laplace per la funzione gamma (vedi " L'eredità di Eulero alla fisica moderna "di Dattoli e Del Franco e del MSE-Q sopra citato). L'integrale di Eulero per la funzione beta consente lo stesso per i coefficienti binomiali generalizzati, che Newton (ancora, collega di Cotes) aveva fatto per l'estensione ai reali dei coefficienti binomiali interi. Sfortunatamente, Eulero non capì appieno l'estensione ai numeri complessi (Argand e Wessel verranno dopo) altrimenti avrebbe scavato Cauchy, Liouville e Riemann sul calcolo dell'analisi complessa.

Per una preistoria della funzione zeta di Riemann, vedere " Aspects of Zeta-Function Theory in the Mathematical Works of Adolf Hurwitz " di Oswald e Steuding. Gli autori non dicono se "s" sia reale o complesso nella loro discussione sulla preistoria di zeta. Sarebbe stato naturale per Eulero e altri prima di Riemann prendere in considerazione$s$complesso. Eulero aveva l'associazione alle potenze di pi per argomenti anche interi di zeta che avrebbero suggerito una connessione al complesso sia attraverso la sua formula favolosa che la sua formula di riflessione per la funzione gamma, ma poi non aveva molto da raccogliere da questa prospettiva senza Riemann's Mellin trasforma rep. attraverso il quale Riemann fu il primo a estrarre davvero nuove proprietà di zeta, ad applicare la formula di riflessione di Eulero per dare la continuazione del contorno di Hankel di zeta dal semipiano destro al piano complesso completo e a sviluppare un algoritmo intelligente per determinare -zeri banali, tra gli altri sviluppi.

Una falsa pista sembra essere uno sforzo miope per forzare una dicotomia artificiale tra interpolazione e continuazione analitica. Uso l'interesse e l'abilità di Cotes (e di Newton) nell'interpolazione nel regno reale (certamente correlato all'approssimarsi delle orbite celesti) per indicare che era predisposto a fare continuazioni analitiche. Inoltre, non c'è dicotomia. In diverse domande MO e MSE, mostro come l'interpolazione sia correlata alla continuazione analitica del fattoriale alla funzione gamma, i numeri di Bernoulli alla zeta di Riemann, i polinomi di Bernoulli alla zeta di Hurwitz e il classico calcolo delle potenze intere della derivata op su valori complessi non interi, tra le altre interpolazioni / AC (ad esempio, inizia da questo MO-Q o questo MO-Q ). Questi possono essere correlati a funzioni sinc / interpolazioni serie cardinali, interpolazione di espansione binomiale e / o interpolazione di Newton e probabilmente altre (ad esempio, questo MO-Q ). Alcune associazioni più sofisticate sono legate al teorema di Mahler e alla ref nella risposta a questo MO-Q . Un aspetto dei doni di Riemann era la sua intuizione su come questo sia correlato alla trasformazione di Mellin.

(Per i pregiudizi sull'accessibilità, vedere Khaneman e Tversky.)