Quali sono i limiti del linguaggio della matematica?
Mi è stato detto che la matematica non può esprimere qualitativamente quali sono gli elementi di un insieme, così che non si può dire ad esempio che i membri di un insieme sono costituiti da tigri bianche. Quindi la matematica non può aggiungere dettagli qualitativi a un concetto matematico oa un'istanza matematica. Vorrei sapere quali sono alcuni degli altri limiti della lingua della matematica rispetto alla lingua scritta o parlata come l'inglese.
Risposte
Il linguaggio matematico è semplicemente un modo più rigoroso per parlare del mondo. Non c'è alcuna limitazione a questo riguardo che non sarebbe una limitazione a nessuna lingua.
Il fatto che oggi nessuno sappia esprimere matematicamente barzellette, giochi di parole e poesie non implica che non possano essere espresse matematicamente. C'è stato un tempo in cui nessuno sapeva come esprimere matematicamente le probabilità, per esempio, e guarda ora...
Il fatto che non ci siano poesie scritte in linguaggio matematico non implica che ciò non possa essere fatto. Piuttosto, sembra una diretta conseguenza del fatto che si tratta di una lingua specializzata e che quindi la maggior parte delle persone non la capisce abbastanza bene.
Per quanto riguarda le barzellette, eccone una, scritta nel linguaggio della logica formale:
(φ ⊃ ψ) → (φ → ψ)
In realtà è molto divertente, ma devi capirlo e pochissime persone lo capiscono.
Contrariamente ad alcuni commentatori qui, c'è una grande differenza tra matematica e linguaggio, nonostante il fatto che qualsiasi frase possa ovviamente essere tradotta in "informazione" matematizzata.
Russell, i positivisti logici e altri si proponevano di liberare il linguaggio dalle sue qualità torbide riducendo sia il linguaggio che la matematica alla logica. Sebbene il lavoro sia stato abbastanza fruttuoso, il progetto stesso è stato considerato un fallimento, almeno come sistema completo. La rottura tra il primo e il tardo Wittgenstein offre un drammatico incapsulamento di questo "fallimento", data la natura vasta, complessa, viva e performativa del linguaggio.
In primo luogo, il linguaggio è incarnato, esperienziale e principalmente orale. Inizia con le vibrazioni nel grembo materno ed è continuo con la vita umana, i contesti fisici e la riproduzione. Possiamo trascrivere le parole in alfabeti visivi, ma questi richiedono un processo di apprendimento piuttosto innaturale e arduo. Non puoi tradurre questi segni visivi in linguaggio senza accedere alle parole pronunciate. A parte rozzi pittogrammi, non è possibile tradurre o recuperare una "lingua morta" come la Lineare A senza qualche relazione, per quanto indiretta, con una lingua viva "parlata".
Ciò suggerisce che il linguaggio ha lo stesso tipo di irreversibilità legata al tempo della vita stessa, mentre la matematica è "reversibile" e quindi priva di significato, se il "significato" ha a che fare, come dice Luhmann, con le relazioni tra reale e possibile. La matematica tenta di svuotarsi di quanti più contenuti esperienziali possibile, mentre il linguaggio è esperienza e presuppone sempre, per quanto remotamente, un parlante incarnato con una storia e un ambiente particolari.
Non possiamo imparare la matematica senza la lingua, ma impariamo prontamente la lingua senza la matematica. In teoria, ovviamente, qualcuno potrebbe sostenere che l'intelligenza artificiale comporterebbe una matematizzazione delle abilità linguistiche umane uniche che si muovono all'interno e tra i cervelli. Ma una delle capacità linguistiche dei cervelli intelligenti è che si riproducono, mentre è molto dubbio che le macchine informatiche possano riprodursi al di fuori di un ambiente di riproduzione umana.
C'è un'importante distinzione tra matematica pura e matematica applicata.
La matematica pura si occupa interamente di verità astratte della forma generale "date certe condizioni formali iniziali o postulati, quali sono le conseguenze?" Ad esempio in un sistema assiomatico queste condizioni formali sono suddivise in primitive , relazioni e assiomi che definiscono come si applicano le relazioni tra primitive. Ma le primitive e le relazioni non hanno alcun significato intrinseco.
Quando si applica un significato a una primitiva, l'esercizio diventa di matematica applicata. A una data disciplina matematica pura possono essere attribuiti molti significati diversi, ognuno dei quali conduce a un diverso ramo della matematica applicata. Come ha osservato una volta David Hilbert in modo apocrifo a proposito della geometria assiomatica, si potrebbero benissimo applicare "punti", "linee" e "piani" a tavoli, sedie e boccali di birra.
Così le proprietà matematiche degli elementi di un insieme, come segnaposto primitivi, sono il dominio della matematica pura, mentre le proprietà matematiche di una gabbia piena di tigri bianche sono il dominio della matematica applicata.
C'è molta solida matematica dietro i colori e la musica. Nella teoria degli insiemi, puoi parlare di insiemi con cardinali transfiniti diversi per il loro numero di colori.
La struttura logica può essere rappresentata in diagramma, in generale e per concetti specifici.
Tuttavia, vorrei proteggere le mie scommesse e dire semplicemente che non sappiamo se possiamo associare ogni concetto rilevante alla sua stessa matematizzazione, in modo rilevante. Nei casi in cui il successo non sembra imminente, può darsi che non abbiamo ancora capito la parola problema, per così dire.