Quali sono le matrici nel POVM per misurare il primo $m$ qubit?

Question

Supponi di avere uno stato quantistico $|w\rangle$ consiste in $m + n$ qubit e imposti una misurazione che misuri il primo $m$qubit nella base standard. Quali sono le matrici nel POVM corrispondente?

Answer 1

Bene, poiché queste sono misurazioni proiettive nel sottospazio del primo $m$ qubit, possiamo semplicemente elencare tutti i proiettori sulla base computazionale di questo primo sottospazio e 'riempirli' con $I$è nel secondo sottospazio:

$$ P_{j} = |j\rangle\langle j|_{m} \otimes I_{|n|},\,\,\, \forall j \in \{0,1\}^{m}, $$ che dà esattamente $|\{0,1\}^{m}| = 2^{m}$diversi operatori per il POVM. Se identifichi risultati di misurazione distinti con ogni operatore, ad esempio$\lambda_{j} = j_{d}$ (per esempio $j$ in forma decimale), puoi facilmente scrivere anche un operatore di misura:

$$ M = \sum_{j} \lambda_{j}P_{j} = \sum_{j} j_{d}|j\rangle \langle j \otimes I_{n}| $$

Vedi anche, ad esempio, questa bella risposta di Daftwullie per un diverso operatore di misurazione. Nota che quella risposta omette il sottospazio extra di$n$, ma puoi semplicemente trattarlo riempiendo con $I$E 'di nuovo.