Quantizzazione del flusso nel 3D Compact QED di Polyakov
Nel suo libro "Gauge Fields and Strings" Polyakov introduce il QED compatto su un reticolo cubico nello spazio euclideo 3D come: $$ S\left[ \left\{ A_{\mathbf{r},\mathbf{\alpha}}\right\} \right]=\frac{1}{2g^2}\sum_{\mathbf{r},\mathbf{\alpha},\mathbf{\beta}}(1-\cos{F_{\mathbf{r},\mathbf{\alpha}\mathbf{\beta}}}) $$
Dove $F$ è il flusso netto attraverso la targa che è attraversato dai vettori reticolari $\mathbf{\alpha}$ e $\beta$ al punto $\mathbf{r}$ ed è data da: $$ F_{\mathbf{r},\mathbf{\alpha}\mathbf{\beta}}=A_{r,\alpha}+A_{r+\alpha,\beta}-A_{r,\beta}-A_{r+\beta,\alpha}$$ Che intuitivamente è il ricciolo di $A$intorno alla targa. La trasformazione di gauge è definita come:$$ A_{r,\alpha}\to A_{r,\alpha}-\phi_{r}+\phi_{r+\alpha} $$Sotto il quale l'azione è invariante. Un risultato ovvio è che il flusso totale attraverso qualsiasi superficie gaussiana chiusa è zero. Questo è vero perché:$$\sum_{p\in cube} F_p=0$$Poiché ogni campo indicatore su ogni collegamento appare due volte con segni diversi nella somma di cui sopra. Quindi è impossibile avere monopoli in questo sistema ad eccezione dei monopoli Dirac che possono essere costruiti assumendo che il flusso attraverso 5 facce di un cubo abbia lo stesso segno mentre una faccia ha un flusso netto con segno negativo tale che il flusso totale rimanga zero .
Ma poi, lui (Polyakov) afferma che questo flusso (che attraversa solo una delle facce di un cubo) è quantizzato. Non so come dimostrarlo. Sembra che sia necessaria una trasformazione di gauge singolare (secondo un articolo di 't Hooft) e abbiamo bisogno di accoppiare il campo di gauge a un altro campo (probabilmente di materia), ma non riesco a trovare un modo per implementare tale trasformazione nel modello reticolare e anche qualcuno potrebbe chiedersi perché dovremmo accoppiarci$A$ad un altro grado di libertà. Questo punto è menzionato anche qui:https://physics.stackexchange.com/a/202806/90744 di nuovo senza alcuna prova.
Il libro utilizza un'altra azione che si afferma essere equivalente all'azione originale, che è data da: $$ S=\frac{1}{4g^2}\sum_{r,\alpha,\beta}(F_{r,\alpha \beta}- 2\pi n_{r,\alpha \beta})^2 $$ Dove $n$è un campo a valore intero. Questa azione in generale non è equivalente all'azione originale. perché qui stiamo consentendo deviazioni dalla non periodicità di$A$ per contribuire e quindi possiamo usarlo solo nel piccolo $g$ limite.
Risposte
Ebbene, per quanto riguarda la domanda, dovrebbe derivare dalla versione discreta del teorema di Stokes. Si consideri un cubo, in caso di flusso diverso da zero, perforando il cubo, non si può assegnare globalmente il potenziale di gauge$A_\mu$, solo localmente, in un determinato grafico. Dividiamo il cubo in due grafici, che si sovrappongono almeno sull'equatore
L'emisfero settentrionale e meridionale. Secondo il teorema di Stokes il flusso attraverso la superficie rosso pallido è uguale alla circolazione di$A_\mu$ intorno all'equatore: $$ \int_{U_N} F d S= \sum_{i \in s} F_i S_i = \oint A_\mu dx^{\mu} = \sum_{i \in l} A_i l_i $$ Dove $s$ - denota tutte le superfici nel grafico e $l$ - i segmenti di linea sull'equatore, e $S_i$ - area della superficie, $l_i$- lunghezza del segmento. Nell'integrale sull'equatore, si può scegliere nel teorema di Stokes di integrare sopra$U_N$ e $U_S$, e il risultato, dal punto di vista fisico, non dovrebbe dipendere dalla scelta della superficie.
La parte elettromagnetica dell'azione della particella puntiforme è: $$ S = \oint A_\mu d x^{\mu} $$ L'azione per la particella puntiforme entra nel percorso integrale come $e^{i S}$ Pertanto, in ordine per il $e^{i S}$ per essere monovalore, i flussi sull'emisfero settentrionale e meridionale devono soddisfare la seguente condizione: $$ \int _{U_N} F = - \int _{U_S} F + 2 \pi n \qquad n \in \mathbb{Z} \qquad \Rightarrow \qquad \int _{U_N \cup U_S} F = 2 \pi n $$
Questa logica manca di rigore, ma può fornire qualche intuizione. Un altro punto, che si può notare, che i monopoli sono le soluzioni classiche - minimi dell'azione funzionale, e dall'azione, si può vedere, che:$$ \cos F_{r, \alpha \beta} = 1 \Rightarrow F_{r, \alpha \beta} = 2 \pi n, n \in \mathbb{Z} $$ Quindi la somma su tutte le facce verrà quantizzata.
L'azione, che hai scritto alla fine del tuo post, è un'approssimazione Gaussiana o Villain dell'azione originale, che presuppone che le fluttuazioni del campo di gauge siano vicine ai minimi$F_{r, \alpha \beta} = 2 \pi n$, ed è ottenuto dall'espansione del coseno al secondo ordine: $$ 1 - \cos F_{r, \alpha \beta} = \frac{1}{2} (F_{r, \alpha \beta} - 2 \pi n_{r, \alpha \beta})^2 $$