Queste due metriche sono equivalenti?

Question

Permettere$d_1$e$d_2$essere metriche sullo spazio$X$. Supponiamo che per qualsiasi sequenza$\{x_n\}_{n=1}^\infty \subset X$e punto$x_0 \in X$abbiamo quello$$ \lim_{n \to \infty}d_1(x_n,x_0)=0 \iff \lim_{n \to \infty}d_2(x_n,x_0)=0. $$Possiamo concludere che le metriche$d_1$e$d_2$sono equivalenti, cioè che inducono la stessa topologia (metrica)? Sarei tentato di dire banalmente "sì", visto gli spazi$(X,d_1)$e$(X,d_2)$sono omeomorfi, essendo un isomorfismo dato dalla funzione identità. Mi sto perdendo qualcosa?

Answer 1

Le metriche$d_1,d_2$Su$X$sono equivalenti se$\textrm{id}_X: (X,d_1) \to (X,d_2)$è un omeomorfismo.

E il criterio di continuità sequenziale per$\textrm{id}_X$si applica per la proprietà data, in entrambe le direzioni. Quindi l'idea che hai è buona; basta affermarlo in modo più accurato.

Un'altra osservazione: in qualsiasi topologia metrica$O$è aperto se

$$\forall x \in O: \text{ for all sequences } (x_n)_n \text{ in } X: (x_n \to x) \implies (\exists N \in \Bbb N: \forall n \ge N: x_n \in O)$$

e così come$d_1$e$d_2$hanno le stesse sequenze convergenti, hanno anche gli stessi aperti, quindi sono equivalenti. Si può anche fare una variazione di questo per gli insiemi chiusi.

Answer 2

Non ti manca niente. Gli insiemi chiusi sono gli stessi per le due metriche poiché un insieme è chiuso se il limite di qualsiasi sequenza da esso appartiene ad esso. Quindi le due metriche hanno gli stessi insiemi chiusi (e quindi gli stessi insiemi aperti).