Questo polinomio caratteristico si trasforma in fattori lineari sugli interi?

Question

Permettere $n$ essere un numero naturale, $U_n := \{ d | d \text{ divides } n, \gcd(d,n/d)=1\}$ essere l'insieme dei divisori unitari.

Possiamo fare $U_n$ a un anello booleano:

$$a \oplus b := \frac{ab}{\gcd(a,b)^2} = \frac{\operatorname{lcm}(a,b)}{\gcd(a,b)}$$ e $$a \otimes b := \gcd(a,b)$$

Perché sembra che il polinomio caratteristico dell'addizione ($\oplus$) fattori della tabella sugli interi in fattori lineari?

1 x - 1
2 (x - 3) * (x + 1)
3 (x - 4) * (x + 2)
4 (x - 5) * (x + 3)
5 (x - 6) * (x + 4)
6 (x - 12) * (x - 2) * (x + 4) * (x + 6)
7 (x - 8) * (x + 6)
8 (x - 9) * (x + 7)
9 (x - 10) * (x + 8)
10 (x - 18) * (x - 4) * (x + 6) * (x + 12)
11 (x - 12) * (x + 10)
12 (x - 20) * (x - 6) * (x + 10) * (x + 12)
13 (x - 14) * (x + 12)
14 (x - 24) * (x - 6) * (x + 8) * (x + 18)
15 (x - 24) * (x - 8) * (x + 12) * (x + 16)
16 (x - 17) * (x + 15)
17 (x - 18) * (x + 16)
18 (x - 30) * (x - 8) * (x + 10) * (x + 24)
19 (x - 20) * (x + 18)
20 (x - 30) * (x - 12) * (x + 18) * (x + 20)
21 (x - 32) * (x - 12) * (x + 16) * (x + 24)
22 (x - 36) * (x - 10) * (x + 12) * (x + 30)
23 (x - 24) * (x + 22)
24 (x - 36) * (x - 14) * (x + 18) * (x + 28)
25 (x - 26) * (x + 24)
26 (x - 42) * (x - 12) * (x + 14) * (x + 36)
27 (x - 28) * (x + 26)
28 (x - 40) * (x - 18) * (x + 24) * (x + 30)
29 (x - 30) * (x + 28)
30 (x - 72) * (x - 24) * (x - 16) * (x - 12) * (x + 8) * (x + 24) * (x + 36) * (x + 48)

Ecco la tabella delle aggiunte per $n=2,6,30$:

$$ \left(\begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{array}\right) \left(\begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 3 & 6 \\ 2 & 1 & 6 & 3 \\ 3 & 6 & 1 & 2 \\ 6 & 3 & 2 & 1 \end{array}\right) \left(\begin{array}{rrrrrrrr} 1 & 2 & 3 & 5 & 6 & 10 & 15 & 30 \\ 2 & 1 & 6 & 10 & 3 & 5 & 30 & 15 \\ 3 & 6 & 1 & 15 & 2 & 30 & 5 & 10 \\ 5 & 10 & 15 & 1 & 30 & 2 & 3 & 6 \\ 6 & 3 & 2 & 30 & 1 & 15 & 10 & 5 \\ 10 & 5 & 30 & 2 & 15 & 1 & 6 & 3 \\ 15 & 30 & 5 & 3 & 10 & 6 & 1 & 2 \\ 30 & 15 & 10 & 6 & 5 & 3 & 2 & 1 \end{array}\right) $$

Modifica : se possibile, vorrei capire da dove provengono gli autovalori. Ecco cosa ho finora:

Schizzo dell'idea:

Ad ogni autovalore $\lambda$ con autovettore $v_{\lambda}$ possiamo associare un gruppo stabilizzatore $V_{\lambda} \le U_n$:

$$V_{\lambda} = \{u \in U_n| \left < (u\oplus u_1,\cdots,u \oplus u_r)^T ,v_{\lambda}\right >=\lambda \}$$

Quindi sembra che:

$$\lambda = \sum_{v \in V_{\lambda}} v - \sum_{u \in V_{\lambda}^C} u$$

che proverebbe il tutto e spiegherebbe come si verificano gli autovalori.

Ecco alcuni esempi: $$n$$ $$\lambda, V_{\lambda}, \lambda$$

1
1 [1] 1
2
3 [1, 2] 3
-1 [1] -1
3
4 [1, 3] 4
-2 [1] -2
4
5 [1, 4] 5
-3 [1] -3
5
6 [1, 5] 6
-4 [1] -4
6
12 [1, 2, 3, 6] 12
2 [1, 6] 2
-4 [1, 3] -4
-6 [1, 2] -6
7
8 [1, 7] 8
-6 [1] -6
8
9 [1, 8] 9
-7 [1] -7
9
10 [1, 9] 10
-8 [1] -8
10
18 [1, 2, 5, 10] 18
4 [1, 10] 4
-6 [1, 5] -6
-12 [1, 2] -12
11
12 [1, 11] 12
-10 [1] -10
12
20 [1, 3, 4, 12] 20
6 [1, 12] 6
-10 [1, 4] -10
-12 [1, 3] -12
13
14 [1, 13] 14
-12 [1] -12
14
24 [1, 2, 7, 14] 24
6 [1, 14] 6
-8 [1, 7] -8
-18 [1, 2] -18
15
24 [1, 3, 5, 15] 24
8 [1, 15] 8
-12 [1, 5] -12
-16 [1, 3] -16
16
17 [1, 16] 17
-15 [1] -15
17
18 [1, 17] 18
-16 [1] -16
18
30 [1, 2, 9, 18] 30
8 [1, 18] 8
-10 [1, 9] -10
-24 [1, 2] -24
19
20 [1, 19] 20
-18 [1] -18
20
30 [1, 4, 5, 20] 30
12 [1, 20] 12
-18 [1, 5] -18
-20 [1, 4] -20

Answer 1

Ecco uno schizzo di una dimostrazione per induzione sul numero $k$ di fattori primi di $n$:

Per $k=0$ noi abbiamo $n=1$e il fatto è chiaro. Se$k=1$ poi $n$ è una potenza primaria e $|U_n|=2$, e noi abbiamo $$p_n(X)=\det\begin{pmatrix}1-X&n\\ n&1-X\end{pmatrix}=(1-X)^2-n^2=(1+n-X)(1-n-X),$$ che mostra che il caratteristico polinomio $p_n(X)$ della tabella di addizione di $U_n$ si divide in fattori lineari sugli interi.

Supponiamo ora $k>1$. Permettere$q\in U_n$ essere il più grande divisore unitario di potenza principale e lasciare $m=\tfrac{n}{q}$. Quindi per ipotesi di induzione il polinomio caratteristico$p_m(X)$ della tabella di addizione di $U_m$ si divide in fattori lineari sugli interi.

Possiamo riorganizzare le righe e le colonne della tabella di addizione di $U_n$ in modo che il quarto in alto a sinistra della tabella sia esattamente la tabella di addizione di $U_m$. Notare che questo cambia solo il polinomio caratteristico di un fattore di$\pm1$, quindi questo non influisce sulla fattorizzazione. La tabella delle aggiunte riorganizzata di$U_n$ è una matrice a blocchi del modulo $$\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix},$$ dove $A=D$ è la tabella di addizione di $U_m$ e $B=C=qA$. Ne consegue che \ begin {eqnarray *} p_n (X) & = & \ det \ begin {pmatrix} A-XI & B \\ C & D-XI \ end {pmatrix} & = & \ det \ begin {pmatrix} A-XI & qA \ \ qA ​​& A-XI \ end {pmatrix}. \ end {eqnarray *} Perché$A-XI$ e $qA$ pendolarismo ne consegue che il determinante di questo $2\times2$-block matrix è uguale a \ begin {eqnarray *} p_n (X) & = & \ det ((A-XI) ^ 2- (qA) ^ 2) \\ & = & \ det \ big ((1 + q) A -XI) ((1-q) A-XI) \ big) \\ & = & \ det \ big ((1 + q) A-XI \ big) \ cdot \ det \ big ((1-q) LA -XI \ big) \\ & = & (1 + q) ^ {2 ^ {k-1}} \ det (A- \ tfrac {X} {1 + q} I) \ cdot (1-q) ^ {2 ^ {k-1}} \ det (A- \ tfrac {X} {1-q} I) \\ & = & (1 + q) ^ {2 ^ {k-1}} p_m (\ tfrac {X} {1 + q}) \ cdot (1-q) ^ {2 ^ {k-1}} p_m (\ tfrac {X} {1-q}). \ end {eqnarray *} Per ipotesi di induzione$p_m(X)$ si divide in fattori lineari sugli interi, e quindi lo fanno $$(1+q)^{2^{k-1}}p_m(\tfrac{X}{1+q})\qquad\text{ and }\qquad (1-q)^{2^{k-1}}p_m(\tfrac{X}{1-q}).$$ Ne consegue anche quello $p_n(X)$ si divide in fattori lineari sugli interi.