Richiesta di riferimento: equazioni diofantine
Sto cercando un libro di testo, o preferibilmente delle lezioni, sul tema delle equazioni diofantine. Conosco i principi di base dell'aritmetica modulare, le coniche e il principio di Hasse, e le basi delle curve ellittiche, il teorema di Mordell ecc. (Anche se non sono al punto in cui posso capire la dimostrazione).
Quello di cui ho bisogno è qualcosa che mi porti oltre le basi. Qualcosa che mi insegnerà la teoria avanzata e mi insegnerà anche sulle superfici diofhantine (non solo le curve).
Risposte
Questa può essere una buona scelta per qualcuno che (come te) conosce già superficialmente alcune delle definizioni e dei metodi della geometria diofantea:
- Marc Hindry, Joseph H. Silverman - Diophantine Geometry: An Introduction , Graduate Texts in Mathematics 201 , Springer (2000),https://doi.org/10.1007/978-1-4612-1210-2.
I due seguenti sono ottimi articoli espositivi (specialmente il primo), che mi hanno fornito molta ispirazione nel corso della giornata:
Mazur, Barry. Aritmetica sulle curve. Toro. Amer. Matematica. Soc. (NS) 14 (1986), n. 2, 207--259.https://projecteuclid.org/euclid.bams/1183553167
Mazur, Barry. Sul passaggio da locale a globale in teoria dei numeri ( link )
Henri Darmon ha un paio di bei articoli sul tema dei punti razionali sulle curve:
Punti razionali sulle curve ( link )
Punti razionali su curve ellittiche modulari ( link )
Anthony Varilly-Alvarado ha una serie di ottime introduzioni al tema dei punti razionali su diversi tipi di superfici:
Lezioni sull'aritmetica delle superfici del Pezzo ( link )
Aritmetica delle superfici K3 ( link )
Alexei Skorobogatov ha tenuto un corso nel 2013 sul tema dei punti razionali su superfici e varietà di dimensioni superiori. Le note raggiungono un grande equilibrio tra accessibilità e generalità:
- Geometria aritmetica: punti razionali ( collegamento )
Poi ci sono queste note di Yonatan Harpaz sui punti razionali su superfici ellittiche:
- Punti razionali sulle fibrazioni ellittiche - Appunti del corso ( link )
Infine (per ora), Brendan Hassett ha un bell'articolo sul tema della densità potenziale di punti razionali sulle varietà, anch'esso molto interessante:
- Densità potenziale di punti razionali su varietà algebriche ( link )
Per esempio
- Teoria dei numeri: Volume I: Strumenti ed equazioni diofantine , testi laureati in matematica 239 ,https://doi.org/10.1007/978-0-387-49923-9; e
- Teoria dei numeri: volume II: strumenti analitici e moderni , testi laureati in matematica 240 ,https://doi.org/10.1007/978-0-387-49894-2
di Henri Cohen.
È difficile andare lontano nella teoria moderna senza una certa geometria algebrica.
Questo è l'approccio adottato nel libro:
- Bjorn Poonen, Punti razionali sulle varietà , Graduate Studies in Mathematics 186 (2017), pagina dell'editore , Autore pdf .
Se sei interessato alle applicazioni del metodo di Baker, del teorema del subspazio di Schmidt ecc., Allora potrebbero piacerti i seguenti libri recenti di Evertse e Győry:
- Equazioni discriminanti nella teoria dei numeri diofantina , New Mathematical Monographs, 32, Cambridge University Press, Cambridge, 2017.
- Equazioni unitarie in Teoria dei numeri diofantina , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 146, Cambridge University Press, Cambridge, 2015.
Ai libri sopra menzionati ne aggiungerei uno in più:
- Varietà razionali e quasi razionali (Cambridge Studies in Advanced Mathematics) di J. Kollár, KE Smith e A. Corti.
Gli autori presentano un approccio più o meno elementare alle questioni di razionalità utilizzando un mix di metodi classici e moderni.