Richiesta di riferimento: equazioni diofantine

Aug 17 2020

Sto cercando un libro di testo, o preferibilmente delle lezioni, sul tema delle equazioni diofantine. Conosco i principi di base dell'aritmetica modulare, le coniche e il principio di Hasse, e le basi delle curve ellittiche, il teorema di Mordell ecc. (Anche se non sono al punto in cui posso capire la dimostrazione).

Quello di cui ho bisogno è qualcosa che mi porti oltre le basi. Qualcosa che mi insegnerà la teoria avanzata e mi insegnerà anche sulle superfici diofhantine (non solo le curve).

Risposte

8 RP_ Aug 18 2020 at 10:24

Questa può essere una buona scelta per qualcuno che (come te) conosce già superficialmente alcune delle definizioni e dei metodi della geometria diofantea:

  • Marc Hindry, Joseph H. Silverman - Diophantine Geometry: An Introduction , Graduate Texts in Mathematics 201 , Springer (2000),https://doi.org/10.1007/978-1-4612-1210-2.

I due seguenti sono ottimi articoli espositivi (specialmente il primo), che mi hanno fornito molta ispirazione nel corso della giornata:

  • Mazur, Barry. Aritmetica sulle curve. Toro. Amer. Matematica. Soc. (NS) 14 (1986), n. 2, 207--259.https://projecteuclid.org/euclid.bams/1183553167

  • Mazur, Barry. Sul passaggio da locale a globale in teoria dei numeri ( link )

Henri Darmon ha un paio di bei articoli sul tema dei punti razionali sulle curve:

  • Punti razionali sulle curve ( link )

  • Punti razionali su curve ellittiche modulari ( link )

Anthony Varilly-Alvarado ha una serie di ottime introduzioni al tema dei punti razionali su diversi tipi di superfici:

  • Lezioni sull'aritmetica delle superfici del Pezzo ( link )

  • Aritmetica delle superfici K3 ( link )

Alexei Skorobogatov ha tenuto un corso nel 2013 sul tema dei punti razionali su superfici e varietà di dimensioni superiori. Le note raggiungono un grande equilibrio tra accessibilità e generalità:

  • Geometria aritmetica: punti razionali ( collegamento )

Poi ci sono queste note di Yonatan Harpaz sui punti razionali su superfici ellittiche:

  • Punti razionali sulle fibrazioni ellittiche - Appunti del corso ( link )

Infine (per ora), Brendan Hassett ha un bell'articolo sul tema della densità potenziale di punti razionali sulle varietà, anch'esso molto interessante:

  • Densità potenziale di punti razionali su varietà algebriche ( link )
7 MaxAlekseyev Aug 18 2020 at 07:16

Per esempio

  • Teoria dei numeri: Volume I: Strumenti ed equazioni diofantine , testi laureati in matematica 239 ,https://doi.org/10.1007/978-0-387-49923-9; e
  • Teoria dei numeri: volume II: strumenti analitici e moderni , testi laureati in matematica 240 ,https://doi.org/10.1007/978-0-387-49894-2

di Henri Cohen.

6 DanielLoughran Aug 18 2020 at 08:32

È difficile andare lontano nella teoria moderna senza una certa geometria algebrica.

Questo è l'approccio adottato nel libro:

  • Bjorn Poonen, Punti razionali sulle varietà , Graduate Studies in Mathematics 186 (2017), pagina dell'editore , Autore pdf .
4 GHfromMO Aug 18 2020 at 14:01

Se sei interessato alle applicazioni del metodo di Baker, del teorema del subspazio di Schmidt ecc., Allora potrebbero piacerti i seguenti libri recenti di Evertse e Győry:

  • Equazioni discriminanti nella teoria dei numeri diofantina , New Mathematical Monographs, 32, Cambridge University Press, Cambridge, 2017.
  • Equazioni unitarie in Teoria dei numeri diofantina , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 146, Cambridge University Press, Cambridge, 2015.
3 MaciejUlas Aug 29 2020 at 09:42

Ai libri sopra menzionati ne aggiungerei uno in più:

  • Varietà razionali e quasi razionali (Cambridge Studies in Advanced Mathematics) di J. Kollár, KE Smith e A. Corti.

Gli autori presentano un approccio più o meno elementare alle questioni di razionalità utilizzando un mix di metodi classici e moderni.