Risolvere$\sqrt{9-x^2} > x^2 + 1$senza calcolatrice grafica per la forma esatta

Aug 21 2020

Esiste un modo per risolvere questa disuguaglianza senza utilizzare una calcolatrice grafica per ottenere la forma esatta?

$$\sqrt{9-x^2} > x^2 + 1$$

Ho provato a completare il quadrato ma ho finito con$$\frac{3 - \sqrt{41}}{2} < x^2 < \frac{3 + \sqrt{41}}{2}$$che non corrisponde alla risposta su Desmos.

Risposte

3 SiongThyeGoh Aug 20 2020 at 22:53

$$9-x^2>x^4+2x^2+1$$ $$x^4+3x^2-8<0$$ $$\left(x^2+\frac32 \right)^2 < 8+\frac94$$

$$\left(x^2+\frac32 \right)^2< \frac{41}4$$

$$0\le x^2<\color{red}-\frac32 + \frac{\sqrt{41}}2$$

Ora, la tua risposta dovrebbe coincidere.

MoneyOrientedProgrammer Aug 20 2020 at 22:55

Suggerimento:

  • Se$A>B>0$poi$A^2>B^2$. Applica questo a$\sqrt{9-x^2}>x^2+1$.
  • Come$x^2+1$è sempre positivo allora$9-x^2>0$.

Entrambi devono essere soddisfatti. Quindi hai bisogno$\cap$per intersecare gli insiemi di soluzioni di entrambi i casi.

Il suggerimento è ampliato.

\begin{gather} 9-x^2>x^4+2x^2+1\\ x^4+3x^2-8<0\\ (x^2-\frac{-3+\sqrt{41 }}{2})(x^2-\frac{-3-\sqrt{41}}{2})<0 \end{gather}

con cui deve essere intersecato

\begin{gather} 9-x^2>0\\ x^2<9 \end{gather}

La soluzione è$x^2< \frac{-3+\sqrt{41}}{2}$o$$-\sqrt{\frac{-3+\sqrt{41}}{2}}<x< \sqrt{\frac{-3+\sqrt{41}}{2}}$$