Se $\{a_n\}$ è una sequenza positiva e $b_n := a_1/a_2 + \dotsb + a_{n-1}/a_n + a_n/a_1$, quindi mostralo $\lim_{n \to \infty} b_n = \infty$.

Question

Permettere $a_n$ essere una sequenza positiva.

Definiamo $b_n$ come segue:

$$b_n = \frac{a_1}{a_2} + \frac{a_2}{a_3} + \ldots + \frac{a_{n-1}}{a_n} + \frac{a_n}{a_1}$$

Domanda: Dimostralo$\lim b_n=\infty$.

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La mia soluzione suggerita: sono stato in grado di dimostrare il contrario (che il limite non è l'infinito), puoi mostrarmi cosa ho sbagliato?

ho preso $a_n$ come segue: $1,1,2,8,64,1024,\dots$ Poi $b_n$ è: $$1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + \dotsb + a_n.$$ I primi elementi tranne l'ultimo sono la somma di una progressione geometrica a cui converge $2$ quando $n$ diventa troppo grande, quindi il limite complessivo è $2+a_n$ che non è certo infinito ...

Answer 1

Nel tuo controesempio qualcosa non funziona, anzi stai assumendo

$$\large {a_n=2^{\frac{(n-1)(n-2)}{2}}}\to \infty$$

e quindi

$$b_n= \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \ldots + \frac{1}{2^{n-1}} + a_n\ge a_n \to \infty$$

Per dimostrarlo $b_n \to \infty$, da AM-GM ce l'abbiamo

$$b_n = \frac{a_1}{a_2} + \frac{a_2}{a_3} + \ldots + \frac{a_{n-1}}{a_n} + \frac{a_n}{a_1} \ge n \sqrt[n]{\frac{a_1}{a_2} \cdot \frac{a_2}{a_3} \cdot \ldots \cdot \frac{a_{n-1}}{a_n} \cdot \frac{a_n}{a_1}}=n\cdot 1=n\to \infty$$

quindi concludere con il teorema di compressione.

Answer 2

Possiamo scrivere

$$b_n=c_1+c_2+c_3+\cdots c_{n-1}+\frac1{c_1c_2c_3\cdots c_{n-1}}$$ dove il $c_k$ sono numeri positivi.

Il valore minimo di $b_n$ si trova annullando il gradiente,

$$\forall k:1-\frac1{c_1c_2c_3\cdots c_{n-1}c_k}=0$$ o $$c_k=\frac1{c_1c_2c_3\cdots c_{n-1}}=\frac1p.$$

La soluzione è $p=c_k=1$ e $b_n=n$ è la somma più piccola possibile, trovata indipendentemente da @user.