Se il lato superiore è nero, qual è la possibilità che l'altro lato sia bianco?
Domanda : Un cappello contiene un numero di carte, con il 30% di bianco su entrambi i lati, il 50% di nero su un lato e il bianco sull'altro, il 20% di nero su entrambi i lati. Le carte vengono mescolate, quindi una singola carta viene estratta a caso e posizionata sul tavolo. Se il lato superiore è nero, qual è la possibilità che l'altro lato sia bianco?
Il mio tentativo : usando la definizione di probabilità condizionale, otteniamo,$P(W|B)=\frac{P(W\cap B)}{P(B)}=0.5/0.7=5/7$
Ma la risposta effettiva è 5/9. Dove ho sbagliato?
Risposte
Non è così semplice.
La probabilità che il lato superiore della carta scelta sia nera non lo è $0.7$ ed ecco perché:
C'è un $0.2$possibilità che scegliamo una carta che è nera su entrambi i lati. Abbastanza facile ... Tuttavia, quando introduciamo il file$0.5$possibilità di una carta bianco / nero, dobbiamo considerare quale lato è rivolto verso l'alto. Sembrerebbe naturale presumere che entrambe le parti possano essere alzate con uguale probabilità. Quindi c'è un file$0.5^2$probabilità che venga scelta una carta bianco / nero e il lato nero sia a faccia in su, portando la probabilità totale che il nero sia il lato superiore della carta scelta a$0.2 + 0.5^2$
Ora che questo fatto è stato portato alla luce forse sei in grado di finire il problema da qui!
Un modo per pensarci è analizzare invece gli eventi in base a quale carta viene scelta + il suo orientamento. Quindi, invece di avere 3 eventi (WW, BW, BB), abbiamo 4 eventi (WW, BW, WB, BB).
Allora le probabilità sono
WW: 30%
BN: 25%
Bilanciamento del bianco: 25%
BB: 20%
Quando prendiamo una carta a caso e la posizioniamo con un orientamento casuale, vediamo che è nera sopra, quindi può essere BW o BB. C'è una probabilità del 25% che si verifichi BW e una probabilità del 20% che si verifichi BB, quindi abbiamo$\frac{25}{25+20} = \frac{5}{9}$.
Lo penserei non come scegliere una carta ma scegliere un lato (di una carta). E facciamo finta di averlo fatto$100$carte. Quindi scegli a caso uno dei file$200$lati. Poi ci sono$50\cdot1+20\cdot2=90$lati neri. Di quelli,$50$vieni con il bianco sull'altro lato. Così$\frac{50}{90} = \frac{5}{9}$ possibilità per il bianco dall'altra parte.