Sequenza costante di somme parziali in una serie divergente

Aug 16 2020

Nella serie armonica, abbiamo $$|H_{2n}−H_n|\geq \frac{1}{2}$$ per tutti $n$, il che implica divergenza. Tuttavia, le somme parziali da$n$ per $2n$, valutato a $n$, uguale $\ln(2)$ per tutti $n$. Ciò non implica che la sequenza delle somme parziali sia convergente al valore$\ln(2)$, che a sua volta implica che le serie dovrebbero convergere? Mi sento come se non stessi capendo qualcosa di fondamentale sul criterio di Cauchy e la convergenza, ecc. Non è affatto una sequenza di somme parziali, a causa delle cose divertenti che stiamo facendo con l'intervallo? Grazie per l'aiuto.

Risposte

3 PacoAdajar Aug 15 2020 at 23:09

Innanzitutto, una cosa minore: le somme parziali da $n$ per $2n$ approccio $\ln{2}$, ma non lo eguaglieranno mai. (Perché?)

Secondo, cosa più importante: in effetti, ciò che hai dimostrato è che la sequenza di somme parziali $\{ H_n\}$non è Cauchy, e quindi non converge. In effetti, se fosse Cauchy, allora per definizione$|H_{2n} - H_n| \to 0$. Questo perché per qualsiasi$\epsilon > 0$, dovrebbe esistere $N(\epsilon)$ per cui $|H_m - H_n| < \epsilon$ ogni volta $m, n > N(\epsilon)$; quindi scegliamo$m = 2n$ Qui.