Sistema di disequazioni lineari omogenee

Question

Cerco di trovare le condizioni in cui il sistema lineare di disuguaglianze$$ (S):\ Ax\ge0,\ x\ge0 $$

ha una soluzione$x\in\mathbb{R}^n$che non è zero ($x\neq0$). Qui$A$è un$n\times n$matrice quadrata con elementi reali. Naturalmente potrei combinare le due disuguaglianze in (S) in una e scriverla nella forma di$\tilde{A}x\ge0$dove$\tilde{A}$è$2n\times n$.

Presumo che questo problema sia stato risolto da tempo. Qualsiasi suggerimento su come attaccare questo problema è apprezzato.

Answer 1

(S) è equivalente a$$ [A\ -I_n] \left[\begin{array}{c} x\\ b \end{array}\right] =0,\ \left[\begin{array}{c} x\\ b \end{array}\right]\ge0\ \mathrm{and}\ \left[\begin{array}{c} x\\ b \end{array}\right]\neq0\ (\Leftrightarrow\ x\neq0) $$Secondo il teorema di Gordan se (S) non ha soluzioni allora c'è$y\in\mathbb{R}^n$tale che$\left[\begin{array}{c} A^{T}\\ -I_{n} \end{array}\right]y<0$che viene a$y>0$e$A^Ty<0$.