Soluzione a un'equazione con logaritmi di tipo $x\log(x) + ax + b = 0$

Aug 22 2020

Ho riscontrato un'equazione trascendentale con logaritmi come $x\log(x) + ax + b = 0$e mi chiedo se esista una soluzione in forma chiusa per l'equazione.

Risposte

2 CogitoErgoCogitoSum Aug 21 2020 at 22:46

Sospetto che non ci sia una soluzione in forma chiusa. Le funzioni trascendentali come queste di solito non lo fanno; soprattutto considerando le variabili$a,b$, ci sono semplicemente troppi gradi di libertà e troppe equazioni uniche.

Nota: lo presumo $\log$è il logaritmo naturale. Se non è così, puoi facilmente modificare la matematica.

Possiamo sostituire $x=e^u$ e arriviamo all'equazione $ue^u + ae^u + b=0$.

Riscriverlo come $e^u(u+a)=-b$

Moltiplicato per $e^a$ produrre $e^{u+a}(u+a)=-be^a$

Approfitta della funzione Lambert W: $u+a= W(-be^a)$

Quindi: $$\log(x) = W(-be^a) - a$$


In un commento hai chiesto se Lambert W avesse una derivata. Ha una derivata implicita:$$\frac{d W(x)}{dx} = \frac1{x + e^{W(x)}}$$

1 IV_ Aug 21 2020 at 23:16

Questo tipo di equazioni non può essere risolto riorganizzandolo applicando un numero finito di funzioni elementari .

Se la congettura di Schanuel è vera e$a,b\in\overline{\mathbb{Q}}$, l'equazione non ha soluzioni che sono numeri elementari .

vedi risolvibilità in forma chiusa di equazioni trascendentali elementari?

Come ha mostrato CogitoErgoCogitoSum nella sua risposta, la soluzione non elementare può essere rappresentata come

$$x=e^{W(-b{e^a})-a}=-\frac{b}{W(-be^{a})}.$$ $\ $


$$W'(x)=\frac{W(x)}{x+xW(x)}$$