Soluzione a un'equazione con logaritmi di tipo $x\log(x) + ax + b = 0$
Ho riscontrato un'equazione trascendentale con logaritmi come $x\log(x) + ax + b = 0$e mi chiedo se esista una soluzione in forma chiusa per l'equazione.
Risposte
Sospetto che non ci sia una soluzione in forma chiusa. Le funzioni trascendentali come queste di solito non lo fanno; soprattutto considerando le variabili$a,b$, ci sono semplicemente troppi gradi di libertà e troppe equazioni uniche.
Nota: lo presumo $\log$è il logaritmo naturale. Se non è così, puoi facilmente modificare la matematica.
Possiamo sostituire $x=e^u$ e arriviamo all'equazione $ue^u + ae^u + b=0$.
Riscriverlo come $e^u(u+a)=-b$
Moltiplicato per $e^a$ produrre $e^{u+a}(u+a)=-be^a$
Approfitta della funzione Lambert W: $u+a= W(-be^a)$
Quindi: $$\log(x) = W(-be^a) - a$$
In un commento hai chiesto se Lambert W avesse una derivata. Ha una derivata implicita:$$\frac{d W(x)}{dx} = \frac1{x + e^{W(x)}}$$
Questo tipo di equazioni non può essere risolto riorganizzandolo applicando un numero finito di funzioni elementari .
Se la congettura di Schanuel è vera e$a,b\in\overline{\mathbb{Q}}$, l'equazione non ha soluzioni che sono numeri elementari .
vedi risolvibilità in forma chiusa di equazioni trascendentali elementari?
Come ha mostrato CogitoErgoCogitoSum nella sua risposta, la soluzione non elementare può essere rappresentata come
$$x=e^{W(-b{e^a})-a}=-\frac{b}{W(-be^{a})}.$$ $\ $
$$W'(x)=\frac{W(x)}{x+xW(x)}$$