Spettro primo di un anello: perché la geometria viene catturata dagli anelli locali?

Aug 16 2020

Se una funzione $f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ è continuo, $f$è invertibile localmente in tutti i punti non di fuga. Cioè, per tutti i punti$x_0$ tale che $f(x_0) \neq 0$, esiste un quartiere aperto $U$ di $x_0$ e una funzione $g: U \rightarrow \mathbb R$, tale che per tutti $u \in U$, $(f \times g)(u) = f(u) \times g(u) = 1$.

È vero il contrario? Una funzione che è invertibile localmente in tutti i punti non di fuga è continua?

Non sembra. Considera la funzione$ f(x) = \begin{cases} 1 & x \in \mathbb Q \\ 2 & \text{otherwise} \end{cases} $

Questo ha una funzione inversa $ g(x) = \begin{cases} 1 & x \in \mathbb Q \\ 1/2 & \text{otherwise} \end{cases} $

nonostante $f$è discontinuo ovunque. Quindi chiaramente, questa definizione invertibile localmente è molto lontana dal darci funzioni continue.

Ora sono demotivato riguardo allo spettro di un anello. È questa proprietà di "inversione locale" che (pensavo) motiva la definizione del fascio di struttura sullo spettro di un anello. Nel$\operatorname{Spec}(A)$, l'anello delle funzioni attorno a un punto (primo) $\mathfrak p$ è $A_\mathfrak p$. Quindi tutte le funzioni (elementi dell'anello) che non sono pari a zero$\mathfrak p$ sarà costretto a diventare invertibile tramite localizzazione.

Ma questa definizione non sembra abbastanza forte da catturare effettivamente ciò che vogliamo: consente molti anelli patologici di funzioni, da cui non possiamo recuperare la struttura dello spazio originale. La prova che so che recupera lo spazio originale dato l'anello delle funzioni necessita di funzioni continue per applicare il lemma di Urhyson [questo può essere trovato in Atiyah Macdonald, Capitolo 1, Esercizio 26)

Cosa mi sto perdendo?

Risposte

3 ZhenLin Aug 16 2020 at 10:19

È un dato di fatto che una funzione continua (reale o di valore complesso), o continuamente differenziabile, o liscia, o analitica, ecc. Che non svanisce da nessuna parte, ha un inverso moltiplicativo nella stessa categoria. Inoltre, per continuità, una funzione può svanire solo su un insieme chiuso. Pertanto il fascio di tali funzioni su uno spazio topologico ha la proprietà che i suoi steli siano anelli locali. Per varietà algebriche irriducibili definite in modo classico abbiamo funzioni razionali, il fascio di funzioni regolari ha la stessa proprietà. Per varietà algebriche non necessariamente irriducibili non possiamo davvero parlare di funzioni razionali ma un'analisi più approfondita del fascio di funzioni regolari su varietà algebriche affini irriducibili rivela che non è necessario passare per funzioni razionali in primo luogo, ed è così arriviamo alla definizione del fascio di struttura di uno schema generale affine. Il fatto che gli steli siano anelli locali è, in un certo senso, casuale.

Permettere $k$ essere un campo algebricamente chiuso e lascia $X$ essere un sottoinsieme di $k^n$. Ai fini di questa risposta, una funzione regolare su$X$ è una funzione $f : X \to k$ per cui esistono polinomi $p$ e $q$ al di sopra di $k$ tale che $q (x) \ne 0$ per tutti $x \in X$ e $f (x) = p (x) / q (x)$ per tutti $x \in X$. Permettere$\mathscr{O} (X)$ essere l'insieme di funzioni regolari su $X$. Poi:

Se $X$ è un sottoinsieme chiuso irriducibile di $k^n$, poi il compito $U \mapsto \mathscr{O} (U)$, dove $U$ varia nei sottoinsiemi aperti di $X$, definisce un subsheaf $\mathscr{O}_X$ del fascio di $k$-valore funzioni su $X$.

In realtà c'è un'affermazione da verificare qui, vale a dire che la regolarità delle funzioni è una proprietà locale, ma lo lascio a te. La definizione di cui sopra richiesta$X$ da incorporare $k^n$, ma in realtà non è necessario. Primo:

Se $X$ è un sottoinsieme chiuso di $k^n$ e $f : X \to k$ è una funzione regolare, quindi c'è un polinomio $p$ al di sopra di $k$ tale che $f (x) = p (x)$ per tutti $x \in X$.

Più generalmente:

Permettere $X$ essere un sottoinsieme chiuso di $k^n$, permettere $q$ essere un polinomio finito $k$, e lascia $U = \{ x \in X : q (x) \ne 0 \}$. Se$f : U \to k$ è una funzione regolare, quindi esiste un numero intero positivo $m$ e un polinomio $p$ al di sopra di $k$ tale che $f (x) = p (x) / q (x)^m$ per tutti $x \in X$.

Inoltre, se $U$ è denso $X$, poi l'omomorfismo unico $k [x_1, \ldots, x_n, u] \to \mathscr{O} (U)$ invio $x_1, \ldots, x_n$ alle rispettive funzioni di coordinate $U \to k$ e $u$ alla funzione regolare su $U$ definito da $1 / q$ ha kernel $(I (X) + (q u - 1))$, dove $I (X)$ è l'ideale dei polinomi che svaniscono $X$.

Infatti, da allora $f : U \to k$ è una funzione regolare, esistono polinomi $p_1$ e $q_1$ tale che $q_1 (x) \ne 0$ per tutti $x \in U$ e $f (x) = p_1 (x) / q_1 (x)$ per tutti $x \in U$. Dalla Nullstellensatz,$\sqrt{I (X) + (q_1)} \supseteq \sqrt{I (X) + (q)}$; in particolare, esiste un numero intero positivo$m$ e $r \in k [x_1, \ldots, x_n]$ e $s \in I (X)$ tale che $q_1 r + s = q^m$. Quindi,$$\frac{p_1 (x)}{q_1 (x)} = \frac{p_1 (x) r (x)}{q_1 (x) r (x)} = \frac{p_1 (x) r (x)}{q (x)^m}$$ per tutti $x \in U$, quindi possiamo prendere $p = p_1 r$.

Dato un elemento generale di $k [x_1, \ldots, x_n, u]$, dì $p_0 + p_1 u + \cdots + p_m u^m$, dove $p_0, \ldots, p_m$ sono polinomi in $x_1, \ldots, x_n$ al di sopra di $k$, noi abbiamo $$p_0 (x) + \frac{p_1 (x)}{q (x)} + \cdots + \frac{p_m (x)}{q (x)^m} = 0$$ per tutti $x \in U$ se e solo se $$p_0 (x) q (x)^m + p_1 (x) q (x)^{m - 1} + \cdots + p_m (x) = 0$$ per tutti $x \in U$. Da$U$ è denso $X$, la seconda equazione vale effettivamente per tutti $x \in X$, così $$p_0 q^m + p_1 q^{m - 1} + \cdots + p_m \in I (X)$$ e quindi, $$p_0 + p_1 u + \cdots + p_m u^m \in I (X) + (q u - 1)$$come richiesto. ■

Il risultato di tutto questo è che, se $X$ è un sottoinsieme chiuso irriducibile di $k^n$, poi il covone $\mathscr{O}_X$ può essere ricostruito dal ring $\mathscr{O} (X)$ insieme alla biiezione tra gli ideali massimi di $\mathscr{O} (X)$ e i punti di $X$: quanto sopra mostra che, per un sottoinsieme aperto principale $U \subseteq X$, ie $U = \{ x \in X : f (x) \ne 0 \}$ per alcuni $f \in \mathscr{O} (X)$, l'anello $\mathscr{O} (U)$ è la localizzazione di $\mathscr{O} (X)$ rispetto all'insieme moltiplicativo $\{ 1, f, f^2, \ldots \}$. È facile verificare che le mappe di restrizione siano quelle ovvie. Poiché i principali sottoinsiemi aperti di$X$ costituiscono una base per la topologia di $X$, questo determina il covone $\mathscr{O}_X$. Modulo l'introduzione di ideali primi non massimali, questo è esattamente il modo in cui si costruisce il fascio di struttura per uno schema affine generale.