Penso che la risposta sia

$$N = 20 \left(\frac{10^{17} -2}{19}\right) + 2$$

Prova

Supponiamo di scrivere il nostro numero originale come $$N = a_n 10^n + a_{n-1}10^{n-1} +\ldots + a_0 = \displaystyle \sum_{j=0}^n a_j 10^j$$ Allora l'equazione descritta nel problema è $$ 2 \displaystyle \sum_{j=0}^n a_j 10^j = a_0 10^n + \displaystyle \sum_{j=1}^n a_j 10^{j-1}$$ Riorganizzare dà $$ \displaystyle \sum_{j=1}^n a_j ((2 \times 10^j) - 10^{j-1}) = a_0 (10^n - 2)$$ che significa che $$ 19 \displaystyle \sum_{j=1}^n a_j 10^{j-1} = a_0 (10^n -2)$$ Notare ora che il lato sinistro è divisibile per $19$ quindi il lato destro deve essere anche ma da allora $a_0$ è coprimo con $19$, ciò significa che $10^n - 2$ è divisibile per $19$. Pertanto, stiamo cercando la più piccola potenza di$10$ che è congruente a $2$ modulo $19$.

Passando attraverso i poteri di$10$ modulo $19$ dà $10, 5, 12, 6, 3, 11, 15, 17, 18, 9, 14, 7, 13, 16, 8, 4, 2, \ldots$.
Quindi, la più piccola potenza di$10$ che funziona è $10^{17}$. Inserendolo nella nostra equazione si ottiene$$ \displaystyle \sum_{j=1}^{17} a_j 10^{j-1} = a_0 \frac{10^{17} -2}{19}$$ Chiaramente, non possiamo scegliere $a_0=1$ poiché il lato destro avrà troppo poche cifre, ma se scegliamo $a_0=2$ (per ottenere il minimo) quindi sembra sicuro che avremo un file $17$-digit numero sul lato destro e possiamo semplicemente scegliere il resto del $a_j$opportunamente a sinistra.

Ciò significa che il più piccolo$N$ che funziona deve essere $$N = 20 \left(\frac{10^{17} -2}{19}\right) + 2$$

Controllo del computer

Lavorarlo con un computer sembra il valore per $N$ sopra è $105263157894736842$ e raddoppiando questo dà $210526315789473684$ quindi questo funziona davvero.

Spostamento di una cifra da destra a sinistra

Risposte