Topologia fino all'isomorfismo

Question

Permettere $A$ essere un set, $\mid A \mid$=$\aleph_0$ (supponi che A$ \subseteq$$\ mathbb {R} $ )

e sia $ \ chi $ = $ \ {\ tau \ subseteq$$P(A)$$\ mid$$($UN,$\tau$$) $ è uno spazio di Hausdorff, $ \ mid \ tau \ mid $ = $ \ aleph$$\}$.
($P(A)$ è il set di potenza di $A$)

Qual è il "valore" di$\mid \chi \mid$ $?$

La domanda è fondamentalmente quante topologie di Hausdorff $\tau$ ($\mid \tau \mid=\aleph$) (fino all'isomorfismo) esistono su un set $A$, $\mid A \mid=\aleph_0$.

Correggimi se sbaglio, ma so che esiste almeno una topologia come ho detto prima:

Ad esempio:

il set è$\mathbb{Q}$ e la topologia $\tau$ è la topologia subspaziale della metrica euclidea su $\mathbb{R}$(è Hausdorff).

Ovviamente$\mid \mathbb{Q} \mid$=$\aleph_0$, e sappiamo che la base di $\tau$ in $\mathbb{R}$ sono tutti gli intervalli aperti, quindi $\mid \tau \mid$ sopra $\mathbb{Q}$ è $\aleph$.

Quindi$\chi \neq \emptyset$.

Cosa è$\mid \chi \mid$?

Answer 1

Ce ne sono al massimo $\kappa:=2^{2^{\aleph_0}}$ topologie attive $A$. Inoltre, ci sono molti ultrafiltri gratuiti non equivalenti$A$, e ciascuno di questi dà origine a una topologia di Hausdorff reciprocamente non omeomorfa $A$(usandolo come insieme di quartieri di un unico punto non isolato). Quindi ci sono$\kappa$ molte topologie di Hausdorff su $A$(tutti di dimensioni reali). La risposta è quindi la dimensione del set di potenza di$\Bbb R$.