Trova il massimo / minimo globale su un'area rettangolare

Aug 17 2020

Trova tutti i punti massimo / minimo globali di questa funzione:

$$f(x,y) = (x-3)^2 + (y-4)^2 + 100$$
In un rettangolo con vertici:

$$(-2,-1), (3,-1), (-2,1) , (3,1)$$

Ho provato a disegnare questo rettangolo e ho capito che è:

$$ [-2,3] \times [-1, 1] $$

Ho calcolato le derivate parziali:

$f_x = 2(x-3) = 0 \Rightarrow x = 3$
$f_y = 2(y-4) = 0 \Rightarrow y = 4$

E così ho capito che l'unico punto è $(3,4)$

Quale non è sul rettangolo ... quindi non ci sono punti max / min globali? Sento che questo è un approccio sbagliato, apprezzerei il tuo aiuto!

Grazie!

Risposte

1 aras Aug 17 2020 at 03:23

Trovare punti dove $f_x = 0$ e $f_y = 0$ti offre tutti gli estremi locali all'interno della regione$[-2, 3] \times [-1, 1]$, cioè il rettangolo aperto $(-2, 3) \times (-1, 1)$. Quello che hai dimostrato è che non ci sono estremi locali all'interno. Tuttavia, potrebbero esserci ancora massimi / minimi sul confine del rettangolo. (In effetti, perché$[-2, 3] \times [-1, 1]$ è compatto, l'analisi ci dice che possiamo trovare un massimo e un minimo globali.)

Per trovare questi valori massimi e minimi globali, è necessario esaminare quali valori $f$ assume il confine del rettangolo $[-2, 3] \times [-1, 1]$. Quando è più piccolo / più grande?

Ad esempio, potremmo prima guardare il bordo inferiore del rettangolo. Questa è la serie di punti$\{ (a, -1): a \in [-2, 3] \}$. In questa regione la nostra funzione$f$ assume i valori

$$f(x, -1) = (x- 3)^2 + (-1 - 4)^2 + 100 = x^2 - 6x^2 + 134$$

da $y$ è sempre $-1$sul bordo inferiore del rettangolo. Da qui, puoi utilizzare il calcolo a variabile singola per calcolare il valore (i) di$x$ in $[-2, 3]$ per cui $f$ è minimo / massimo.

Quindi, fai la stessa cosa per gli altri lati.

(Modifica: proprio come devi controllare i bordi del rettangolo oltre al suo interno, devi controllare i "bordi" dei lati (cioè i quattro angoli) oltre ai lati stessi! In altre parole, don ' t dimenticare se calcolare f in ciascuno dei quattro angoli e vedere se fornisce un punto estremo.)

1 FelipeAlandete Aug 17 2020 at 03:32

Il fatto che il punto che hai trovato non sia nel rettangolo significa che, se guardi la funzione complessiva, il punto massimo / minimo non è nel rettangolo. Tuttavia, stiamo guardando solo una piccola regione della funzione, quella delimitata dal rettangolo.

Se riesci a immaginare il grafico di una qualsiasi funzione delimitata da quel rettangolo, noterai che certamente ha un massimo e un minimo da qualche parte nel bordo. Nel calcolo a variabile singola, questo è spiegato dal teorema dei valori estremi.

Quindi, dovresti trovare i punti massimo e minimo delle quattro linee che risultano dall'intersezione della funzione e dei piani y = 1, y = -1, x = -2 e x = 3. Questi piani sono l'estensione di i lati del rettangolo.

Se hai altre domande, sono felice di aiutarti.

1 JeanMarie Aug 17 2020 at 03:25

Sei nel caso classico in cui gli estremi sono situati sul confine, quindi non serve a nulla annientare le derivate parziali.

Pensa alla geometria: il tuo problema riguarda l'intersezione di un paraboloide $P$ il cui apice è in $(3,4,100)$ e asse definito da $x=3,y=4$ e una scatola $B$ la cui intersezione con il piano Oxy è quella che hai trovato.

Nota: l'intersezione $I=B \cap P$ è un'unione di archi parabolici.

  • Il punto più basso di I sarà lungo l'asse verticale $(x=3, y=1)$(che è il più vicino all'asse di P). Inserisci questi valori nell'equazione per ottenere$z_{min}=109$.

  • Il punto più alto di I sarà ottenuto sul bordo verticale della scatola che è il più lontano dall'asse P, cioè con coordinate $(x=-2,y=-1)$. Ancora una volta, inserisci questi valori nell'equazione per ottenere$z_{max}=150$.