Trova l'angolo mancante nel triangolo

Question

Nel triangolo sottostante, stiamo cercando il valore dell'angolo $φ$.

Ci viene dato $α=30, β=18, γ=24$ e anche quello $CD=BD$.

L'ho risolto con la trigonometria (legge del seno) e ho trovato che l'angolo richiesto è 78 ma devo risolverlo solo con la geometria.

Quello che ho provato finora:

Prima di tutto, l'angolo è costruibile, il che significa per me che deve esserci una soluzione geometrica. Per prima cosa ho disegnato il triangolo ABC; facile, poiché conosciamo 2 dei suoi angoli. Non ci interessano le lunghezze dei lati. Quindi, con il lato AC come base e un angolo di 24 gradi, possiamo disegnare un raggio dal punto A.

Allora, da allora $CD=BD$, il triangolo DCB è isoscele, quindi D deve trovarsi sulla bisettrice perpendicolare di CB, che possiamo disegnare. Il punto di intersezione del raggio da A e la bisettrice perpendicolare, è il punto D.

Dal triangolo FEB lo abbiamo

angolo AFD = 108.

Dal triangolo AFD,

$ADC+CDE+54+108=180$ così $ADC+CDE=18$

Abbiamo anche $24+ACD+ADC=180$

$ACB=132$

$132+φ+ACD=180$

$18+φ+54+ADC+2CDE=180$

Sono sempre un'equazione breve.

Qualche idea?

Molte grazie in anticipo!

MODIFICARE:

Legge del seno nel triangolo ABD:

$\frac {sin (φ+18)}{AD} = \frac {sin (54)}{BD}$

Legge del seno nel triangolo ACD:

$\frac {sin (360-132-φ)}{AD} = \frac {sin (24)}{CD} = \frac {sin (24)}{BD}$

così

$\frac {sin (φ+18)}{sin (228-φ)} = \frac {sin (54)}{sin (24)}$

quindi $φ=78$.

Answer 1

Considera un normale $30$-gon $X_1X_2X_3X_4X_5X_6X_7X_8X_9X_{10}X_{11}X_{12}X_{13}X_{14}X_{15}X_{16}X_{17}X_{18}X_{19}X_{20}X_{21}X_{22}X_{23}X_{24}X_{25}X_{26}X_{27}X_{28}X_{29}X_{30}$ e posizionalo sull'aereo in modo che $X_1 \equiv A$, $X_6\equiv B$, e quello $X_2$ e $C$ giacere su diversi semipiani determinati dalla linea $AB$. Denota$K=X_2$, $L=X_3$, $M=X_4$, $N=X_5$, e $X_{15}=R$.

Costruisci un pentagono regolare $KLOPQ$come in foto. Lo dimostreremo$P\equiv C$.

Notare che $\angle QKA = \angle LKA - \angle LKQ = 168^\circ - 108^\circ = 60^\circ$. Da$QK=KL=AK$, ne segue che il triangolo $AKQ$è equilatero. In particolare,$AQ=KQ=QP$, così $Q$ è il circumcenter di $AKP$. Rendimenti inseguimento angolo$\angle AQP = 360^\circ - 2\angle PKA = 360^\circ - 2(60^\circ + 36^\circ) = 168^\circ$, quindi per triangolo SAS $AQP$ è congruente a $KLM$, $MNB$, e per simmetria è congruente a $MOP$. Continuando a caccia di angoli,$\angle PAQ = 6^\circ$, e infine $\angle BAP = \angle KAQ - \angle PAQ - \angle KAB = 60^\circ - 6^\circ - 24^\circ = 30^\circ$.

D'altra parte, per congruenza di $KLM$, $MNB$ e $MOP$, noi abbiamo $MK=MP=MB$, così $M$ è il circumcenter di $KPB$ e quindi $\angle BMP = 2\angle BKP = 2(\angle LKP - \angle LKB) = 2(72^\circ - 18^\circ) = 108^\circ$, quindi $\angle PBM = 36^\circ$ e $\angle PBA = \angle PBM - \angle ABM = 36^\circ - 18^\circ = 18^\circ$.

Da $\angle BAP = 30^\circ$ e $\angle PBA = 18^\circ$, ce l'abbiamo $P\equiv C$.

Lo dimostreremo ora $R\equiv D$. Prima di tutto, abbiamo$\angle CAR = \angle BAR - \angle BAC = 54^\circ - 30^\circ = 24^\circ$. In secondo luogo, da allora$\angle LKC = 72^\circ = \angle LKR$, ce l'abbiamo $K$, $C$, $R$sono collineari. Da$M$ è il circumcenter di $CKB$, noi abbiamo $\angle BCR = \frac 12 \angle BMK = \frac 12 \cdot 156^\circ = 78^\circ$. Abbiamo anche$\angle RBC = \angle RBA - \angle CBA = 96^\circ - 18^\circ = 78^\circ$. Da$\angle BCR = \angle RBC$, ne consegue che $R$ si trova sulla bisettrice perpendicolare di $CB$, che insieme a $\angle CAR = 24^\circ$ significa che $R\equiv D$. La risposta segue:$$\varphi = \angle BCD = \angle BCR = 78^\circ.$$

Answer 2

Da $\angle DAB=54^o$, se costruiamo un pentagono regolare su $AD$, poi $AB$ bisette $\angle DAG=108^o$, e $AB$ esteso a $K$ sul circumcircle passa per il centro $N$.

Estendere $AC$ per $I$, $DB$ per $L$e unisciti $IK$, $KL$, $LA$, $IL$, e $DG$.

Dal quadrilatero ciclico $AIKL$ ha un angolo retto a $I$, è un rettangolo. Perciò$\angle AIL=\angle IAK=30^o$, $\angle LAK=60^o$, e$$\angle LAG=\angle LAK-\angle GAK=60^o-54^o=6^o=\angle LDG$$E da allora nel pentagono regolare $\angle ADG=36^o$, e come note OP $\angle ADE=18^o$, poi $\angle LDG=\angle ADC$.

Perciò$$\angle CDB=\angle ADG-2\angle LDG=36^o-2\cdot6^o=24^o$$e$$\angle DCB=\phi=\frac{180^o-24^o}{2}=78^o$$