Una forma differenziale il cui supporto è in un intorno tubolare di $T^k\times \{0\}^{n-k}\subset T^n$
Permettere $\alpha$ essere una forma differenziale sul toro $T^n$ il cui supporto $\mathrm{supp}(\alpha)$ è contenuto in un piccolo quartiere del subtorus $T^k\equiv T^k\times \{0\}^{n-k}$.
Domanda: supponi$\alpha$è chiuso o addirittura armonico rispetto a qualche metrica. Mi chiedevo se il corso di coomologia di de Rham$[\alpha]\in H^*_{dR}(T^n)$ deve vivere nell'immagine del pullback $H^*_{dR}(T^k)\to H^*_{dR}(T^n)$ indotto dalla proiezione $T^n\to T^k$.
In realtà ho pensato prima alla seguente domanda: se $S$ è una catena / ciclo singolare la cui immagine è contenuta in un piccolo quartiere di $T^k$, allora abbiamo $[S]\in H_*(T^n)$ deve trovarsi a immagine di $H_*(T^k)\to H_*(T^n)$? La risposta a questo dovrebbe essere positiva in quanto possiamo ritrattare continuamente$S$ in $T^k$. Ma nella teoria della coomologia come sopra, mi confondo.
Per semplicità si può supporre $k=1$ e $n=2$. Per maggiore generalità, possiamo considerare una coppia di varietà lisce (compatte)$N\subset M$ piuttosto che il toro $T^k\subset T^n$.
Risposte
Per compattezza, $\operatorname{supp}(\alpha)\subset T^k\times B^{n-k}$, dove $B^{n-k}\subset T^{n-k}$è una piccola palla aperta. Così$[\alpha]$ è a immagine di $H^*_{dR}(T^n,T^n\setminus T^k\times B^{n-k})\to H^*_{dR}(T^n)$. Con la formula di Künneth e l'escissione,$$ H^*_{dR}(T^n,T^n\setminus T^k\times B^{n-k}) \cong H^*_{dR}(T^k)\otimes H^*_{dR}(\overline{B^{n-k}},\partial B^{n-k})\;.$$ Il secondo fattore ha solo la coomologia in grado $n-k$, generato da, diciamo $[\omega]$. L'immagine di$[\omega]$ nel $H^{n-k}(T^{n-k})$è anche un generatore. Quindi esiste un unico$\beta\in H^*_{dR}(T^k)$ tale che $$[\alpha]=[\beta]\otimes[\omega]\;.$$
Più in generale, lascia $N\subset M$ siate compatti che lasciate $N$ hanno fascio normale orientabile $\nu$. Se$U\subset M$ è un quartiere tubolare di $N$ con $\operatorname{supp}(\alpha)\subset U$, poi $U$ è diffeomorfo a $\nu$ e $[\alpha]$ è a immagine di $$H^*_{dR}(N)\stackrel\Theta\longrightarrow H^*_{dR}(M,M\setminus U)\longrightarrow H^*_{dR}(M)\;,$$ dove $\Theta$è l'isomorfismo di Thom per il fascio normale (seguito da escissione). Questa composizione è talvolta indicata$\iota_!$ ($\iota\colon N\to M$è l'inclusione). Aumenta il grado del rango del pacco normale.
Se entrambi $N$ e $M$ sono orientati, allora lo è $\nu$e si può descrivere $\iota_!$ coniugando la spinta in avanti $\iota_*$ in omologia con la dualità di Poincaré $N$ e $M$.