Utilizzo della regola di Leibniz per differenziare sotto il segno integrale per gli integrali di linea

Aug 15 2020

Esiste un riferimento che dimostri la validità della differenziazione sotto la linea integrale per dimostrare le formule integrali di Cauchy

$$f’(w)=\frac{1}{2\pi i}\int_C \frac d{dw}\frac{f(u)}{u-w}du$$

Risposte

Melody Aug 15 2020 at 23:57

Puoi usare il Teorema 2.27 Dal testo dell'analisi reale di Folland. Una versione semplificata di quel teorema per i numeri complessi direbbe che se$C,D$ sono compatti, $h(z,w):C\times D\to \mathbb{C}$ è analitico per tutti $w$, $\partial h/\partial w (z,w)$ è continuo in entrambi gli argomenti, quindi per tutti $w\in D$ ne consegue che $$\frac{\partial}{\partial w} \int_C h(z,w) dz=\int_C\frac{\partial}{\partial w}h(z,w)dz$$

Essenzialmente il motivo per cui funziona è perché $$\frac{\int_C h(z,w)dz-\int_C h(z,w_0)}{w-w_0}=\int_C\frac{h(z,w)-h(z,w_0)}{w-w_0}dz$$Folland utilizza il Teorema della Convergenza Dominata per garantire i lavori di cui sopra. Nel nostro caso come$C\times D$ è compatto dal teorema di Tychonoff, e $\partial h/\partial w (z,w)$ è continuo $C\times D$, poi $|\partial h/\partial w (z,w)|$ è delimitata sopra da una costante, diciamo $M$. Da$C$ ha misura finita (compatta) ne consegue che $M\in L^1(C)$ quindi siamo liberi di utilizzare Converge dominate per giustificare la differenziazione sotto il segno integrale.

Nel tuo caso, $C$è un cerchio, che è compatto. Adesso per$f(u)/(u-w)$, potresti dire che questo non è definito su un set compatto, ma se limitiamo i valori di $w$ a un piccolo disco chiuso e i valori di $u$ al cerchio, quindi la nostra funzione è definita su un dominio della forma $C\times D$ dove $C,D$ sono compatti.

Matematleta Aug 16 2020 at 01:25

Puoi trovare un'attenta prova qui

Ecco un altro modo: usando semplici fatti sulle serie di potenze, abbiamo, fissando un numero intero $n,$ e la scrittura $f(z) = \sum_{k=0}^\infty a_k(z-w)^k$ dentro $C,$ noi abbiamo

$f(z) = \sum_{k=0}^\infty a_k (z-w)^{k-n-1}(z-w)^{n+1}\Rightarrow \frac{f(z)}{(z-w)^{n+1}}=\sum_{k=0}^\infty a_k (z-w)^{k-n-1}.$

Ne consegue che $\displaystyle \int_C\frac{f(z)}{(z-w)^{n+1}}dz=2\pi i a_k.\ $ Ma $a_k=\frac{f^{(k)}(w)}{k!}.\ $ Il risultato segue.