Valore atteso del gioco quando si lancia una moneta

Question

Inizi con \$ $10.000$ . Lanci una moneta onesta.

• Se ottieni testa, vieni pagato \$$1$.
• Se ottieni croce, paghi al tuo amico metà dei tuoi soldi attuali.

Qual è la quantità di denaro prevista che hai dopo$n$giri?.

Quindi definiamo l'importo iniziale come$x_{0} = 10000$. Quindi nel round 1, ci aspettiamo$$ x_{1} = {1 \over 2}\left({x \over 2} + x + 1\right) $$Nota in tondo$1$, potremmo avere$2$possibili valori per$x_{1}$.$5000$e$10,001$. Quindi in tondo$2$, potremmo avere$4$valori possibili. Quindi chiaramente al round$n$, noi abbiamo$2^{n}$valori possibili, tutti con uguale probabilità.

Ora questa è una delle parti che penso di fare correttamente, ma non so come giustificare. Per semplificare le cose, sto affermando che invece di avere$2^{n}$possibili valori in tondo$n$, abbiamo un unico valore, che è la media dei$2^{n}$i valori. Quindi, ad esempio, posso comprimere il file$2$valori per round$1$in$\left(10001 + 5000\right)/2 = 7500.5$. Quindi, così facendo, diventa chiaro che la nostra ricorsione lo è

$$ x_{n} = {1 \over 2}\left({x_{n - 1} \over 2} + x_{n - 1} + 1\right) $$

1. La mia prima domanda è: come posso giustificare il "crollo"?. Se scrivi alcuni termini, lo vedrai$$ x_{n} = 0.75^{n}\, x_{0} + \sum_{i = 0}^{n - 1}0.75^{i} \times 0.5 $$
2. La mia seconda domanda è: ho finito qui o devo dimostrare che il file semplificato$x_{n}$dipende solo da$x_{0}$vale per induzione ?. Ho trovato questa formula scrivendo alcuni elementi e osservando/inducendo le cose perché c'è uno schema molto chiaro, quindi penso che sia una prova sufficiente?

Answer 1

La tua idea è corretta. Per giustificarlo, puoi fare appello alla regola della torre , poiché la distribuzione condizionale di$X_n$dato$X_{n-1}$ti viene dato.$$E[X_n] = E[E[X_n \mid X_{n-1}]] = E[0.5(X_{n-1}/2 + X_{n-1} + 1)] = \frac{3}{4} E[X_{n-1}] + \frac{1}{2}.$$