1つの未知数における単純な数論

正の整数の場合 $ n \geq 1 $、 $ d_{n} = gcd(\left \lfloor{\sqrt{n}}\right \rfloor, \left \lfloor{\sqrt{n+1}}\right \rfloor) $。そして、仮説から、私たちはそれを知っています$ \left \lfloor{\sqrt{n}}\right \rfloor \mid n $ そして $ \left \lfloor{\sqrt{n+1}}\right \rfloor \mid n+1 $ 次のようになります。 $$ d_{n} \mid \left \lfloor{\sqrt{n}}\right \rfloor \mid n $$ $$ d_{n} \mid \left \lfloor{\sqrt{n+1}}\right \rfloor \mid n+1 $$ したがって、 $ d_{n} \mid n $ そして $ d_{n} \mid n+1 $ そう $ d_{n} \mid (n+1-n) $ したがって、 $ d_{n} \mid 1 $。したがって、どちらか$ \left \lfloor{\sqrt{n}}\right \rfloor = \left \lfloor{\sqrt{n+1}}\right \rfloor = 1 $ または $ \left \lfloor{\sqrt{n}}\right \rfloor \geq 2 $ そして $ d_{n} = 1 $。

場合 $ \left \lfloor{\sqrt{n}}\right \rfloor = \left \lfloor{\sqrt{n+1}}\right \rfloor = 1 $ その後明らかに $ n \in \{1,2\} $。さて、$ \left \lfloor{\sqrt{n}}\right \rfloor \geq 2 $ そして $ d_{n} = 1 $、 何 $ d_{n} = 1$ 教えてくれます $ \left \lfloor{\sqrt{n}}\right \rfloor $ そして $ \left \lfloor{\sqrt{n+1}}\right \rfloor $ 定義上、互いに素である $ d_{n} = gcd(\left \lfloor{\sqrt{n}}\right \rfloor, \left \lfloor{\sqrt{n+1}}\right \rfloor) $。しかし明らかに$$ \left \lfloor{\sqrt{n}}\right \rfloor + 1 \geq \left \lfloor{\sqrt{n+1}}\right \rfloor \geq \left \lfloor{\sqrt{n}}\right \rfloor $$ ここで、RHSの不等式は明らかですが、LHSの不等式は次の事実から得られます。 $ \sqrt{n}+1 \geq \sqrt{n+1} $（これは二乗することで簡単に確認できます）。したがって、私たちはそれを持っている必要があります$$ \left \lfloor{\sqrt{n+1}}\right \rfloor = \left \lfloor{\sqrt{n}}\right \rfloor + 1$$。

しましょう $ k = \left \lfloor{\sqrt{n}}\right \rfloor $。次に$$ k \leq \sqrt{n} < k+1 $$ そう $$ k^{2} \leq n < (k+1)^{2} $$ したがって、 $$ n+1 \leq (k+1)^{2} $$ 一方で、私たちはそれを持っています $ \left \lfloor{\sqrt{n+1}}\right \rfloor = \left \lfloor{\sqrt{n}}\right \rfloor + 1$ したがって、 $ \left \lfloor{\sqrt{n+1}}\right \rfloor = k+1$ そう $ k+1 \leq \sqrt{n+1} $ これは $ (k+1)^{2} \leq n+1 $。したがって、これと上記の不等式から、私たちはそれを持っている必要があります$$ n+1 = (k+1)^{2} $$ つまり $$ n = (k+1)^{2}-1 $$ フォームのすべての正の整数が実際にあることを確認しましょう $ n=m^{2}-1 $ にとって $ m \geq 2 $仮説を検証します。だからしましょう$ n = m^{2}-1 $ いくつかの正の整数の場合 $ m \geq 2 $。にとって$ m \geq 2 $ 我々は持っています $$ m^{2} > n=m^{2}-1 > (m-1)^{2}$$ そう $$ m > \sqrt{n} > m-1 $$ それなら私たちはそれを持っている必要があります $\left \lfloor{\sqrt{n}}\right \rfloor = m-1 $ 明確に分割します $ n = m^{2}-1=(m-1)(m+1) $。さらに$ n+1 = m^{2} $ したがって、 $ \sqrt{n+1} = m $ そう $ \left \lfloor{\sqrt{n+1}}\right \rfloor = m $ 明確に分割するものも $ n+1 = m^{2} $。

したがって、すべての正の整数 $ n $ フォームの $ m^{2}-1$ いくつかの正の整数の場合 $ m \geq 2 $仮説を満たします。私達はまたそれを見ました$ n \in \{1,2 \} $また、仮説を満たします。さらに、$ 0 $ 自然数の分割可能性の定義による解決策でもあります。 $ k \mid n $ どこ $ k,n \in \mathbb{N} $ 存在する場合 $ m \in \mathbb{N} $ そのようなtaht $ k \cdot m = n $。の場合$ n = 0 $、すべての自然数 $ k $ 除算 $ n $ 含む $ 0 $ それ以来 $ n = 0 $ 存在する（無限に多く、実際にはすべての自然数） $ m \in \mathbb{N} $ そのような $ 0 = 0 \cdot m $。

結論として、私たちはそれを持っています $ n \in \{0,1,2\} \cup \{ m^{2}-1| m \in \mathbb{N}, m \geq 2 \} $ すべての自然数を見つけるという質問に答えます $ n $仮説を満たします。に制限する場合$ n \leq 2000 $、最大の正の整数を見つける必要があります $ m $ そのような $ m^{2}-1 \leq 2000 $ 簡単に見つけることができます $ 44 $。したがって、以下の自然数$ 2000 $ 仮説を満たすのは $$ n \in \{0,1,2,2^{2}-1, 3^{2}-1, 4^{2}-1, \dots , 44^{2}-1 \} = \{0,1,2,3,8,15, \dots 1935 \} $$ したがって、 $ 46 $ 問題の解決策。