1990 IMOQ3の解決方法

注文に関する私のレッスンでは、先生が私に与えた演習の1つは、1990年のIMOペーパーの質問3でした。

すべての整数を検索 $n>1$ そのような $\frac{2^n+1}{n^2}$ は整数です。

私の試み：

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我々は持っています $$n^2|2^n+1\Rightarrow2^n+1\equiv0\pmod{n^2}\Rightarrow2^n\equiv-1\pmod{n^2}\Rightarrow2^{2n}\equiv1\pmod{n^2}$$ どちらか $\text{ord}_{n^2}(2)=1$、 $\text{ord}_{n^2}(2)=2$、 $\text{ord}_{n^2}(2)=d$ どこ $d|n$、または $\text{ord}_{n^2}(2)=2d$ どこ $d|n$ だが $2d\nmid n$。

場合 $\text{ord}_{n^2}(2)=1$、 $2^1\equiv1\pmod{n^2}$、その後 $n^2=1\Rightarrow n=1$。これは、の要件と矛盾します$n$。

場合 $\text{ord}_{n^2}(2)=2$、 $2^2\equiv1\pmod{n^2}$、その後 $n^2=1$ または $3$ そう $n$ です $1$ または $\sqrt3$。これはまた、の要件と矛盾します$n$。

場合 $\text{ord}_{n^2}(2)=d$ 次に整数が存在します $k$ そのような $dm=n$。次に$2^n=2^{dm}=\left(2^d\right)^m\equiv1^m=1\pmod{n^2}$。これは矛盾します$2^n\equiv-1$ 先ほどお見せしました。

したがって、 $$\text{ord}_{n^2}(2)=2d$$

オイラーの定理による $2^{\phi(n^2)}\equiv1\pmod{n^2}$、 そう $2d|\phi(n^2)$。なので$\phi(n)=n\prod_{p|n}\frac{p-1}p=nk$ どこ $k=\prod_{p|n}\frac{p-1}p$、および $n$ そして $n^2$ 同じ素因数を共有します $$\phi(n^2)=n^2\prod_{p|n}\frac{p-1}p=n\left(n\prod_{p|n}\frac{p-1}p\right)=n(nk)=n\phi(n)$$

続けて、

$$2d|\phi(n^2)\Rightarrow2d|n\phi(n)\Rightarrow2|m\phi(n)$$

どこ $dm=n$。これはどちらかを意味します$m$ 偶数です（これは $n$ 偶数）または $\phi(n)$ 均等です。

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残念ながら、私はまだ実際に問題を解決するにはほど遠いです。表示することは明らかです$n$ 偶数または $\phi(n)$ それを示すには十分ではありません $\frac{2^n+1}{n^2}$ は整数です（反例には次のものが含まれます） $n=4$ そして $n=5$）。私が定めた条件を満たす数は無限にあります。ただ、どうすればいいのかわからないので、質問を終えるのに少し助けてもらいたいです。