2次の4つの要素を持つグループが存在しないのはなぜですか？

予備的発言（以下のbofのコメントに動機付けられています）。いくつかの理由で、教授の言うことを解析するのは困難です。まず、グループのアイデンティティはそれ自体の逆であるため、「アイデンティティと自己逆」は冗長です。第2に、グループの要素は、それがIDであるか、順序が2である場合に限り、自己逆です。したがって、「自己逆数を削除」すると、2次の要素は残りません。

いずれにせよ、ここに事実があります：

ファクト1.もし$G$ は奇数次の有限群であり、 $G$ 次数2の要素はゼロです。

ファクト2.もし$G$ は偶数次の有限群であり、 $G$ 次数2の奇数の要素があります。

ファクト3.もし$G$ は、位数2の要素数が有限であるがゼロではない任意のグループであり、 $G$ 次数2の奇数の要素があります。

したがって、すべてをまとめると、次のような説明が得られます。

場合 $G$ がグループの場合、次のいずれかが当てはまります。

1. $G$ 次数2の要素はありません。
2. $G$ 次数2の要素が無限にあります。
3. $G$ 次数2の奇数の要素があります。

注2ファクト3つの一般化するという事実は、あなたが想定した場合$p=2$コーシーの定理の場合、偶数次の有限群は次数2の要素を持っていると言います。しかし$p=2$ コーシーの定理の場合はファクト2から直接続きます。したがって、これはファクト2と3の別々の証明を与えることを正当化します。

それでは、証明を始めましょう。

事実の証明1.これは、有限群の要素の位数が常に群の位数を分割することを意味するラグランジュの定理に基づいています。

事実の証明2.パーティション$G$ 3つの部分に：

ピース1：アイデンティティ要素

ピース2：2より大きい次数の要素

ピース3：位数2の要素

ピース2のすべての要素は、ピース2にもあり、元の要素と等しくないその逆とペアにすることができるため、ピース2には偶数の要素があります。（ここでは、$x=x^{-1}$ iff $x$ 注文は最大2つです。）

したがって、ピース1と2の要素の総数は奇数です。以来$G$ 順序が偶数の場合、ピース3の要素の数も奇数です。

事実の証明3。（この質問を参照してください：無限群の位数2の要素の数。ミッコ・コルホネンによる議論を繰り返します。）

しましょう $G$ グループになってみましょう $X$最大で2の秩序の要素であると仮定します。$G$ 要素を持っています $t$ オーダー2の（そう $t\in X$）。パーティション$X$2つに。ピース1はの要素です$X$ と通勤する $t$、そしてピース2が残りです。次に、それぞれをペアリングできます$x$ ピース1で $xt$、それぞれをペアリングできます $x$ ピース2で $txt^{-1}$。（これが明確に定義されたペアリングであることを確認する必要があります。$x$ ピース1にあります $xt$ ピース1にあり、 $x$; で、もし$x$ ピース2にあります $txt^{-1}$ ピース2にあり、 $x$。）したがって、両方のピースに偶数の要素があるため、 $X$偶数の要素があります。IDを削除すると、位数2の奇数の要素が得られます。