2つの平面の交点間の点を見つける
平面の2つの交点の間の線を見つける演習を行うときは、線の点と方向ベクトルを見つける必要があります。方向ベクトルは両方の法線に垂直であるため簡単ですが、ポイントの取得方法について少し混乱しています。
2つの平面の方程式が与えられたとしましょう。
$$P_1 : A_1 x + B_1 y +C_1 z+ D = 0$$
そして、
$$ P_2 : A_2 x +B_2 y +C_2 z +D = 0$$
交線に沿った点を見つけるために、座標の1つをゼロにするように指示されることがよくあります。 $x, y$ または $z$次に、残りの座標を解きます。しかし、なぜこれを行うのかわかりません。たとえば、2つの線の交点間の線が常に必要であることをどのようにして知ることができますか。$x$ 、 $y$ そして $z$ 傍受？
私が見たこのポストをそれは私のクエリに対処思わなかったし、それがで対処しなかったどちらも、この1
回答
仮定 $\left|\begin{matrix} A_1&B_1 \\ A_2 & B_2\end{matrix}\right| = A_1B_2-B_1A_2\neq 0$。次に、次のように問題を再定式化します。
$$\begin{pmatrix} A_1&B_1 \\ A_2 & B_2\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} = -\begin{pmatrix} C_1 z + D_1 \\ C_2 z+D_2\end{pmatrix} $$ と解決する $x$ そして $y$： $$ \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} = -\begin{pmatrix} C'_1 z + D'_1 \\ C'_2 z+D'_2\end{pmatrix} $$ これは、 $z=t\in{\Bbb R}$ あなたはのためのユニークなソリューションを手に入れます $x$ そして $y$。ここで起こることは、2つの平面の交差点です$P_1,P_2$ 飛行機で $z-t=0$ （非ゼロのAB行列式のために）2つの非平行線を提供します $x-y$飛行機。したがって、これら2つの線には一意の交点があります。
さて、上記のAB行列式がゼロのとき（つまり、 $x-y$ 平面は平行です）次に、ゼロ以外を探すことができます $B-C$ 行列（そして $y,z$）またはゼロ以外 $C-A$ 行列（そして $z,x$）。これらすべての行列式がゼロの場合、2つの元の平面は実際には平行であるため、交点は空であるか、平面です。
計算する3つの行列式は、実際には平面の法線ベクトルの外積の成分であるため、外積が消えないことは、交差が線であるための条件であることに注意してください。
いずれかを仮定することによって、そのような質問を解決するかもしれません $(x,y,z)$ゼロにするか、1を一定に保ちます。それらの1つをゼロに保つことの背後にある直感は、ほとんどの場合、取得する線は平面に平行ではないため、確実に交差する必要があるということです。
そうでない場合、変数をゼロに保つと、一貫性のない線形方程式のペアが生成されます。