2つの無限和の商の限界を評価する

分母は次のように書き直すことができることに注意してください $$\sum_{k=1}^{2n+1} \frac 1k - \frac 12 \sum_{k=1}^{n} \frac 1k$$ この後はかなり簡単になります：分子と分母をで割る $\sum_{k=1}^n \frac 1k$。これはあなたに限界を与えます$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac 12 + \frac{\sum_{k=n+1}^{2n+1} \frac 1k}{\sum_{k=1}^n \frac 1k}}= 2$$

ロピタルの定理には、特定の条件下で離散バージョンがあります。これは通常、シュトルツ・チェザーロの定理として知られています。ここでは、総和を積分として扱います（逆に、差を微分として扱います）。ステートメントは通常次のようなものです：シーケンスの場合$\{ b_n \}$ ポジティブで $\sum b_n = \infty$ （つまり発散）、その後任意のシーケンス $\{ a_n \}$ そのような実数の $\lim_{n\to+\infty} a_n/b_n = L$、 我々は持っています

$$ \lim_{n\to+\infty} \frac{\sum_{j \le n} a_j}{\sum_{j\le n} b_j} = L. $$

これのかなりクールな結果は、限界比較テストです。

与えられた例では、 $a_n = 1/n$ そして $b_n = 1/(2(n+1) - 1) = 1/(2n + 1)$ 取得するため $2$ 限界として。

直感的な説明：

比率は

$$2\frac{\displaystyle\sum_{k=1}^n\dfrac 1k}{\displaystyle\sum_{k=1}^{n+1}\dfrac 1{k-\frac12}}$$ そして成長するために $k$、 用語 $\frac12$ますます重要性が低くなります。同時に、両方の級数が発散するため、最初の項は重要ではありません。

より深刻な議論によって、積分によって合計を括弧で囲み、形式の境界を取得することができます $\log n+c$。次に絞って

$$\frac{\log n+c_1}{\frac12\log n+c_2}<2<\frac{\log n+c_3}{\frac12\log n+c_4}.$$

用語ごとに比較すると、 $$ \begin{align} \sum_{k=1}^n\frac1k &\le\sum_{k=1}^n\frac1{k-\frac12}\\ &=\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{k-\frac12}-\frac1{n+\frac12} \end{align} $$ 同様に、 $$ \begin{align} \sum_{k=1}^n\frac1k &\ge\sum_{k=1}^n\frac1{k+\frac12}\\ &=\sum_{k=2}^{n+1}\frac1{k-\frac12}\\ &=\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{k-\frac12}-2 \end{align} $$ したがって、 $$ 2\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{2k-1}-2\le\sum_{k=1}^n\frac1k\le2\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{2k-1}-\frac1{n+\frac12} $$ したがって、 $$ 2-\frac2{\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{2k-1}}\le\frac{\sum_{k=1}^n\frac1k}{\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{2k-1}}\le2-\frac1{\left(n+\frac12\right)\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{2k-1}} $$ 次に、はさみうちの定理を適用します。