2つのNDRペアの積
これは、5月の代数的位相幾何学の補題についての質問であり、 $(X,A)$ そして $(Y,B)$ NDRペアである場合、 $(X\times Y,X\times B\cup A\times Y)$。
定義により $(X,A)$ マップが存在する場合はNDRペアです $u:X\to I$ とホモトピー $h:X\times I\to X$ そのような $u^{-1}(0)=A$ そして $h(x,0)=x$ すべてのために $x\in X$、 $h(a,t)=a$ すべてのために $a\in A$ そして $t\in I$、および $h(x,1)\in A$ すべてのために $x\in u^{-1}([0,1))$。
仮定します $(h,u)$ そして $(j,y)$ を表す $(X,A)$ そして $(Y,B)$ NDRペアとして、定義します $k:X\times Y\times I\to X\times Y$ させることによって $$k(x,y,t)=\begin{cases} (h(x,t),j(y,tu(x)/v(y)))&\text{if }v(y)\geq u(x)\\ (h(x,tv(y)/u(x)),j(y,t))&\text{if }u(x)\geq v(y). \end{cases} $$ 私たちは理解しています $u(x)/v(y)=1=v(y)/u(x)$ もし $u(x)=v(y)=0$。私の質問は：どうすればの連続性をチェックできますか$k$？
回答
あなたはそれを示さなければなりません $k$ サブセットで連続です $C$ そして $D$ の $X\times Y\times I$ によって定義されます $v(y)\ge u(x)$ そして $u(x)\ge v(y)$ それぞれ、そして定義は同意します $C\cap D$。それで十分です。$C$ そして $D$ で閉じられます $X\times Y\times I$。交差点でそれらが一致することも明らかであるため、証明する必要があるのはそれだけです$k$ 継続している $C$ と $D$。
両方の証明は似ているので、集中しましょう $C$。それは明らかだと思います$k$ すべての点で連続している $v(y)>0$、だから取る $P=(x_0,y_0,t_0)$ と $u(x_0)=v(y_0)=0$、 あれは $x_0\in A$ そして $y_0\in B$。もちろん$h(x,t)$ で継続しています $P$、だから私たちは尋ねます $j(y,tu(x)/v(y))$また〜だ。これはの継続性から続くでしょう$tu(x)/v(y)$。私たちが取ることに注意してください$t_0u(x_0)/v(y_0)$ することが $t_0$。
しましょう $U$ の近所になります $t_0$ に $I$。の連続性によって$u$ そして $v$、それを証明するだけで十分です $$E=\{(r,s,t):0\le r\le s\le1,0\le t\le 1,t(r/s)\in U\}$$ で開いています $$F=\{(r,s,t):0\le r\le s\le1,0\le t\le 1\}.$$ そのコンベンションから $0/0=1$、 $$E=\{(0,0,t):t\in U\}\cup\{(r,s,t)\in F,s>0,rt/s\in U\}$$ で開いています $F$。