2つの正多角形の面積の比率

計算は行いませんが、これがアイデアです。

以来最初 $\triangle ADE$ そして $\triangle BDF$ 似ている、私たちは知っている $AE$ パススルー $G$。

これで計算できます $DG$、$GC$、$AG$ 左七角形に基づいて以来 $AD\parallel CE$ 計算できます $GE=GC\cdot {AD\over DG}$。また、私たちは知っています$\angle DGE=180^{\circ}-\angle AGD={5\over 7}180^{\circ}$。

したがって、 $DE^2=DG^2+GE^2-2\cos({5\over 7}180^{\circ})DG\cdot GE$。

あなたがさせれば $a=DG,b=DA,c=DB$、ここにはいくつかのアイデンティティがあります

アイデンティティを使用して、 $\cos({5\over 7}180^{\circ})=-{a^2+c^2-b^2\over 2ac}=-{a+b\over 2c}$

新しい編集：実際に実現したばかり $\angle GEB=\angle GAD=\angle GBE$ そう $GE$ 実はただ $b$。

今、計算は本当に簡単です：

$$ED^2=a^2+b^2+ab\cdot{(a+b)\over c}$$ $$=a^2+b^2+{bc(c-b)+c(c+a)(c-b)\over c}$$ $$=a^2+b^2+bc-b^2+c^2+ac-bc-ab$$ $$=a^2+c^2+ac-ab$$ $$=a^2+c^2+b^2-a^2-c^2+b^2$$ $$=2b^2$$

したがって、面積はちょうど2倍になります。

一部の解決策 $2$ （追加の問題）：

しましょう $I$ ポイントになる $AD$ 外接円と交差する $O$ の $\triangle ABC$。接続する$IO$。以来$AI$ 二等分線です $BI=CI$。

台形が見やすい $BDEC$ に関して対称です $IO$。さらに$\angle IBC=\angle ICB=10^{\circ}$ そう $\angle IBD=50^{\circ}$。

さあ、 $\angle IDB=x$。上記の情報を使用した角度トレースでは、$$\angle BID=130^{\circ}-x$$ $$\angle IDE=140^{\circ}-x$$ $$\angle DIE=2x-100^{\circ}$$。

場合 $ID>DB=DE$、それから私達は持っています $50^{\circ}>130^{\circ}-x$ そして $140^{\circ}-x>2x-100^{\circ}$ そう $80^{\circ}>x>80^{\circ}$ それは不可能です。

場合 $ID<DB=DE$、それから私達は持っています $50^{\circ}<130^{\circ}-x$ そして $140^{\circ}-x<2x-100^{\circ}$ そう $80^{\circ}<x<80^{\circ}$ それは不可能です。

したがって、 $ID=DB=DE$ そして $\triangle IDE$ 正三角形であるため、 $\angle IDE=60^{\circ}$ そして $\angle ADH=180^{\circ}-40^{\circ}-60^{\circ}=80^{\circ}$。したがって、$BD \perp AC$。

（（$N$ ただ $C$ 再ラベル付け）

残りは一度簡単です $BD\perp AC$。私たちは見つけることができます$\angle MDN=360^{\circ}-60^{\circ}--90^{\circ}-120^{\circ}=90^{\circ}$。

以来 $\angle DMN=60^{\circ}$、 $DN=\sqrt{3} DM$ 面積比は正確に $3$。