2つの収束シーケンスの項の差がnullの場合、シーケンスの制限が等しいことの証明

提案：実際のシーケンスを考えると $\{a_n\}$ そして $\{b_n\}$ 収束している、そしてそれ $\{a_n - b_n \}$ はヌルシーケンスであり、 $\lim_{n \to\infty} a_n = \lim_{n \to\infty} b_n$

これは私の試みでした：

示す $\lim_{n \to\infty} a_n = l$ そして $\lim_{n \to\infty} b_n = m$。仮定します$m \neq n$。仮定します$\epsilon = \frac{l-m}{2}$。の収束によって$\{a_n\}$ そして $\{b_n\}$、およびイプシロンの指定値を使用して、十分に大きい場合 $n$ 私たちはそれを持っています $\frac{l+m}{2} < a_n < \frac{3l-m}{2}$、および $\frac{3m-l}{2} < b_n < \frac{m+l}{2}$。これから私たちは

$$0<a_n - b_n < 4\bigg(\frac{l-m}{2}\bigg)$$ $$\rightarrow 0 < a_n - b_n < 4\epsilon$$

しかし、の密度によって $\mathbb{R}$、いくつかあります $r \in \mathbb{R}$ そのような $a_n - b_n > r$ 十分に大きい場合 $n$。しかし、これは次の事実と矛盾します$\{a_n - b_n\}$ はヌルシーケンスであるため、 $l=m$ $$\tag*{$\ blacksquare$}$$

私は、仮定から矛盾を推測することに依存しない証拠（そしてうまくいけば私のものが正しいことの検証も！）があるかどうかを確認することに興味があります $l \neq m$。これはイライラすることに、一階述語論理で書き出すときに証明するのに苦労する「明白な」ステートメントの1つのように思われます。特に、直接それを行う方法を見つけることができませんでした。