3つの同じ赤いボールと3つの同じ白いボールを3つの異なるボックスの間に分散させる方法の数、空のボックスはありませんか？
タイトルで述べたように、3つの同じ赤いボールと3つの同じ白いボールを3つの異なるボックスの間に分配して、ボックスが空にならないようにする方法の数を計算する必要があります。
同様の質問がいくつかありますが、この特定の質問に完全に答えるものはありません（私の知識によると）。
私はいくつかのケースを作ってこれにアプローチしようとしましたが、実際にはうまくいきました。しかし、たとえば、あるタイプのn個の同一のオブジェクトと別のタイプのm個の同一のオブジェクトを、p個の異なるボックスに入れるという一般的なアプローチを作成することはできませんでした。
回答
初めに私達は持っています $6$白いボール。私たちは持てる$\{4,1,1\}$、 $\{3,2,1\}$、または $\{2,2,2\}$ ボックス内のボール、 $3$、 $6$、 $1$3つの場合の異なる順序。6つのボールのうち3つを赤く塗ります。の中に$\{4,1,1\}$ 3つをペイントできる場合 $4$ 赤 （$1$ 方法）、2つ $4$ 赤 （$2$ 方法）、またはの1つ $4$ 赤 （$1$仕方）; 作る$4$方法。の中に$\{3,2,1\}$ 3つすべてをペイントできる場合 $3$ 赤 （$1$ 方法）、3つの赤のうちの2つ（$2$ 方法）、の1つ $3$ 赤 （$2$ 方法）、またはどれも $3$ 赤 （$1$仕方）; 作る$6$方法。の中に$\{2,2,2\}$ 私たちが作ることができるケース $2$ そして $1$ 別のボックスの赤いボール（$6$ 方法）または各ボックスに1つの赤いボール（$1$仕方）; 作る$7$ 方法。
全部で $$3\cdot 4+6\cdot 6+1\cdot 7=55$$ さまざまな許容可能な分布。
ケースA.最初のボックスに4つのボール。
- ボックスには、3つの赤いボールと1つの白いボールまたは3つの白いボールと1つの赤いボールがあります。これは、2番目と3番目のボックスに対して正確に1つの配置を意味します。小計：2順列
- ボックスには、2つの赤いボールと2つの白いボールがあります。これは、2番目と3番目のボックスに2つの可能な配置を意味します。小計：2順列
合計：4順列
ケースB.最初のボックスに3つのボール。
- 3赤または3白。これは、他のボックスに2つの配置があることを意味します。小計：4つの順列
- 赤2+白1または赤1+白2。これは、他のボックスで4つの可能な配置を意味します。小計：8順列
合計：12順列
ケースC.最初のボックスに2つのボール。
- 2つの赤または2つの白。これは、他のボックスで6つの可能な配置を意味します。小計：12順列
- 赤1個と白1個。これは、他のボックスで7つの可能な配置を意味します。小計：7順列
合計：19順列
ケースD.最初のボックスに1つのボール。唯一の方法：1つの赤または1つの白。これは、他のボックスで10の可能な配置を意味します。
合計：20順列
結論：4 + 12 + 19 + 20 = 55可能な順列。