アフィン変換手法（Putnam 2001、A-4）

Aug 24 2020

この記事からアフィン変換の手法を学ぼうとしています。最初に取り上げる質問は、2001年のパトナムに関する質問A4です。

（Putnam 2001、A4） $\triangle ABC$エリア1があります。ポイント$E$、 $F$、 $G$ 嘘をつく $BC$、 $CA$、および $AB$ それぞれそのような $AE$ 二等分 $BF$ ポイントで $R$、 $BF$ 二等分 $CG$ で $S$、および $CG$ 二等分 $AE$ で $T$。のエリアを探す$\triangle RST$。

アフィン変換によって、私たちは取ることができます $\triangle ABC$正三角形または直角二等辺三角形であることが適切と思われます。いつ$\triangle ABC$ そうです、私たちはそれを持っています $\frac{AG}{AB} = \frac{BE}{BC} = \frac{CF}{CA} = r$。意味あり。しかし、それからそれは夢中になります。どうやら、直角二等辺三角形の場合、「$CG$ 二等分 $AE$ アイデンティティを取得するには $(1 - r)(1 - \frac{r}{2}) = 1/2$"。これはなぜですか？（後で、次のような他の厄介な主張があります： $\frac{CT}{CG} = \frac{1}{2(1-r)}$ そして $BS = SG$、しかしうまくいけば、著者がそれらの1つをどのように思いついたかを理解できれば、他のものがより明らかになるでしょう）。

公式のパトナムソリューションを調べたところ、アフィン手法の使用方法が少し異なっていたようです。解決策2（6つのうち）は、アフィン変換を使用して$\triangle ABC$ エリア1の特定の三角形（つまり、頂点のある三角形）に $(0,1)$、 $(1,0)$、および $(-1,0)$。これらの点のサブセットの共線形性により、3つの未知数の3つの方程式をさらに思いつくことができます（これらの方程式は線形ではありませんが、それでも解くことができます）。3つの未知数の値を差し込むと、点の座標が得られます$R$、 $S$、および $T$。靴紐補題を使用して、$\triangle RST$。のエリア以来$\triangle ABC$ はすでに1つであり、アフィン変換は、の面積の比率を残します $\triangle ABC$ に $\triangle RST$修繕。このアプローチの唯一の問題は、問題を手作業で解決する場合に必要な計算のせん断量です。

回答

2 MishaLavrov Aug 24 2020 at 07:58

これが私たちが得ることができる方法です $(1-r)(1 - \frac12 r) = \frac12$。

から高度を落とす $T$ に $BC$; しましょう$H$ その高度のベースになります。

一方では、 $\triangle THE$ と類似しています $\triangle ABE$、それ以来 $T$ 二等分 $AE$、私達はことを知っています $\triangle THE = \frac12 \triangle ABE$。特に、$TH = \frac12 AB$、および $HE = \frac12 BE = \frac r2 BC$。
一方、 $\triangle THC$ と類似しています $\triangle GBC$。上から、私たちはそれを知っています$HC = (1 - \frac r2)BC$、そう $TH = (1 - \frac r2) GB = (1 - \frac r2)(1 - r)AB$。

これにより、次の2つの式が得られます。 $TH$ の面では $AB$、だから私たちはそれを結論付けます $(1 - \frac r2)(1-r) = \frac 12$。

（「直角二等辺三角形」は好みの問題です。「高度を落とす」と簡単に言うことができますが、線を引くことでどの三角形でも同じ効果を得ることができます。 $T$ に平行 $AB$、そして $H$ との交差点になります $BC$。）

比率 $\frac{CT}{CG}$ また、の類似性から来ています $\triangle THC$ そして $\triangle GBC$、取得しながら $BS = SG$ （アフィン変換は非平行セグメントの比率を保持しないため、直角二等辺三角形の場合にのみ当てはまります！）高度を $S$ に $AB$ そしてそれが二分するのを見てください $BG$。

あなたが知ったら私はそれを追加します $r$（取得する方法はたくさんあります）、証明を完成させる簡単な方法がわかります。以来$AT = TE$、我々は持っています $[ATC] = [TEC]$、ここで括弧は面積を示します。正三角形の場合、$[AFST] = [CERS]$対称性によって; 引くことで、$[CFS] = [RST]$。

だからしましょう $a = [AGT] = [BER] = [CFS] = [RST]$ そしてしましょう $b = [AFST] = [BGTR] = [CERS]$。私たちはその問題で与えられます$4a+3b = [ABC] = 1$; その間、$2a+b = [AGC] = r$。これにより、解くべき2つの方程式が得られます。$a$ そして $b$、および $a$ 私たちが見つけたいものです。