相同性とホモトピーの関係について
前学期にホモロジー代数と高次圏論/ホモトピー理論を学びました。
しかし、2つの主題間のリンクを本当に理解しようとすると、ちょっと混乱します（これは本当に私の快適ゾーンではありません...）
したがって、私はホモロジー代数とホモトピー理論に関するテキストを（一種の自己運動）書こうとしますが、実際には $0$ 2つの主題。
ホモロジー代数で次の概念を紹介したいと思います。
- チェーン複体
1$\frac{1}{2}$。グロタンディーク群
複合体のホモトピー
導来圏
T構造
また、ホモトピー理論で次の概念を紹介したいと思います。
モデルカテゴリ
モデル圏のホモトピー圏
モデルカテゴリの設定における派生
準カテゴリ
4.5。カテゴリ内の複体オブジェクトとこのコンテキストでのホモトピー
- ドールドカン同等性
ここで、「難しい」部分が始まります。
これらの概念を適切に整理するにはどうすればよいですか？1〜3（相同性/ホモトピーのいずれか）の場合、私はそれを行う方法を知っていると思いますが、3〜5の場合、特にホモトピーでは、私にはわかりません...
これは私の質問を引き起こします：
- 無限圏論、またはより一般的にはホモトピー理論/高次圏論を動機付ける方法ですが、相同性の観点からです。私はどこかで多分良い考えを読みました：
アーベル圏の場合 $\mathcal{A}$、導来圏 $\mathcal{D(A)}$ 普遍性によって定義されていません。
ある意味で高次圏論が問題を解決することをどこかで読んだ。いいけどなぜ？そして、準カテゴリが必要ですか、それともモデルカテゴリで十分ですか？
- 誰かがこのテキストを整理するアイデアを持っているなら、私はどんな提案にもオープンです。
誰かがこの自己運動をするためのいくつかの手がかりを私に与えることができれば私は感謝するでしょう。
回答
何かを最初から書き込もうとする前に、OPがこのトピックに関する他の人の文章を読むことをお勧めします。AaronMazel-Geeが動機付けたOSUでの講義に参加しました$\infty$-OPが質問1で示唆しているように、カテゴリは非常に多くなっています。これらの講義のアイデアの一部がここに表示されているようです。
質問2に関しては、Weibelの本Introduction to Homological Algebraは最初のトピックのコレクションで素晴らしい仕事をし、Hoveyの本（またはDwyer-Spalinski）は2番目のコレクションの最初の3つのアイテムを提供し、Lurieの本はあなたが望むすべてを提供します準カテゴリーとそれらのモデルカテゴリーおよびホモロジー代数との関係について（真剣に、彼が各章に書いた紹介は驚異的です）。ドールド・カン対応については、ルリーの著作のどこかにあると確信していますが、私がどこでも読んだ中で最も明確な説明は、アキル・マシューによるものです。
私はアーサーに同意します。もしあなたがもっと断固として気になっているなら、あなたは順序を逆にすることができます（例えば、あなたがすでに単純なセットについて知っていれば、ルリーから始めて）。私自身は、具体的なものから始めて、その上に少しずつ抽象化を構築していきたいと思います。Weibelの本は、実際には、そこから三角圏、モデル圏、および準圏に簡単にステップできるように書かれています。しかし、それは代数主義者にとって非常にアクセスしやすい場所から始まります。
最初に2番目の質問に答えます。ある程度、選択する順序は、例を使用するか、完全に抽象化するかによって大きく異なります。例として、次の事実のみを使用して、射影決議と導来圏を導入できます。$\text{Ch}(\mathcal{A})$ 鉱石の分数の計算（このような処理についてはWeibelの本を参照）またはモデルカテゴリを紹介し、それらの特性を証明し、それを証明することができます $\text{Ch}(\mathcal{A})$小さなオブジェクトの引数を使用して射影モデル構造を認め（引数の概要についてはこのnLabページを参照）、したがって、ホモトピー圏としての導来圏の説明に到達します。
個人的には、2番目のアカウントは不必要に複雑になり、最初にホモロジー代数を導入する方が理にかなっていると思います。特に、モデル構造の例として射影モデル構造を導入し、例として射影解像度を導入できるためです。共線維解像度、ホモトピー圏などの例としての導来圏。これらの概念は、いくつかの例がないと直感的に理解するのが難しい場合があります。ただし、どちらの注文も可能です。
モデルカテゴリと準カテゴリの質問について：モデルカテゴリは、準カテゴリの「プレゼンテーション」と見なすことができます（この観点については、このnLabページを参照してください。また、ルリーの高次トポス理論の付録A.2とA.3を参照してください。この明確な目標を持つモデルカテゴリ）。準カテゴリには、モデルカテゴリに比べていくつかの利点があります。たとえば、任意の準カテゴリから別の準カテゴリへのファンクタの準カテゴリがありますが、類似のステートメントはモデルカテゴリには当てはまりません。ただし、モデル構造は、準カテゴリに関する基本的な証明の多くに深く関わっています。したがって、これらのトピックを順序付ける2つの方法はありません。
あなたの最初の質問について：個人的には、ホモロジー代数がモデル圏または無限圏のいずれかを導入するための十分な動機付けであるとは思わない。コメントで提起されたように、三角圏$\mathcal{D}(\mathcal{A})$ファンクトリアルコーンを許可せず、これは一部のアプリケーションでは煩わしいですが、人々がdg-および準カテゴリについて話し始める前に、人々はほとんど何十年もホモロジー代数を適用することに成功しました。私の意見では、あなたのテキストのより強い順序は、ホモロジー代数から基本的な概念を紹介し、モデル圏、そして最後に準圏について話し始めるときにこれらを例として使用することです。
の普遍性の問題について $\mathcal{D}(\mathcal{A})$無限圏を使用すると、ルーリーの高次代数のセクション1.3.3が役立つ場合があります。ただし、注意してください$\mathcal{D}(\mathcal{A})$ 確かに通常の1-カテゴリ言語で普遍的な特性を持っています：それはのローカリゼーションです $\text{Ch}(\mathcal{A})$ 擬同型で。