与えられた平面にベクトルを投影する行列を見つけます。
の平面を考えてみましょう $\mathbb{R}^{3}$ これは原点と交差し、に直交します $$ \mathbf{v}=\left(\begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ 1 \end{array}\right) .$$
(a)を見つける $3 \times 3$ マトリックス $P_{\mathbf{v}}$ この平面にベクトルを投影します。 $\tag{5 marks }$
(b)与えられた行列 $P_{\mathbf{v}}$ パート(a)から、(非線形)関数の幾何学的重要性を説明します $f(\mathbf{w})=\sqrt{\mathbf{w}^{T} P_{\mathbf{v}} \mathbf{w}}$。 $\tag{5 marks }$
スクリーンショットから転記
私の試み:ベクトルに直交する平面$x =\left ( \begin{matrix} 1 \\ -2 \\ 1 \\ \end{matrix} \right )$ です $x-2y+z = 0.$
これで、この平面上の点はこのセットに属します- $\{ c_1\left ( \begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ \end{matrix} \right ) + c_2\left ( \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 2 \\ \end{matrix} \right ) : c_1 , c_2 \in \mathbb R\}$ 。 $\left ( \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{matrix} \right )$ このセットにも属しています。
つまり、平面上のすべてのベクトルを射影する行列と言えます。 $x-2y+z = 0$ です $\left ( \begin{matrix} 0 & 2 &1\\ 1 & 1 & 1\\ 2 & 0 & 1\\ \end{matrix} \right ) $
なぜなら $\left ( \begin{matrix} 1 & -2 & 1 \end{matrix} \right ) \times \left ( \begin{matrix} 0 & 2 &1\\ 1 & 1 & 1\\ 2 & 0 & 1\\ \end{matrix} \right ) \times \left ( \begin{matrix} x \\ y \\ z \\ \end{matrix} \right )= 0$ すべてのために $ x, y , z \in \mathbb R$
誰かが私の解決策が正しいかどうかを確認し、2番目の部分のヒントを教えてもらえますか?
回答
根拠がある場合 $\beta$ のために $2-$次元部分空間 $W$ でconatined $\mathbb{R}^3$、これらの2つのベクトルを行列の列に配置する必要があります $A$ 次に計算します $$P=A(A^TA)^{-1}A^T$$ この行列は、ベクトルを射影する変換の行列であることがわかります。 $\mathbb{R}^3$ に $W$。
指定した行列の列空間、つまり $$\left ( \begin{matrix} 0 & 2 &1\\ 1 & 1 & 1\\ 2 & 0 & 1\\ \end{matrix} \right )$$ 実際には飛行機です $\{x-2y+z=0\}\cap\mathbb{R}^3$ しかし、それは作用しません $\mathbb{R}^3$この平面にベクトルを投影することによって。理由がわかりますか?パート(b)のヒントとして、絵を描いて、次の事実を使用することをお勧めします。$$\vec{u} \cdot \vec{v}=||\vec{u}||\times ||\vec{v}||\times\cos(\theta)$$ どこ $\theta$ 間の角度です $\vec{u}$ そして $\vec{v}$。