場合 $(f_n):[0, 1] \to [0, 1]$ 連続であり、に収束します $f$ ポイント的には、 $f$リーマン積分可能ですか？[複製]

Question

私は次の質問を解決しようとしています

正しいか間違っているか？場合$(f_n):[0, 1] \to [0, 1]$ に収束する連続関数のシーケンスです $f$ ポイントごとに、次に $f$ リーマン積分可能であり、 $\int_0^1{f_n} \to \int_0^1f.$

コメントの助けを借りて、私はこの反例を見つけましたが、もっと簡単なものがあることを望んでいます。

リーマン積分をルベーグ積分に置き換えると、優収束定理によって結果が真になります。これは、$f$ リーマン積分可能です、そして確かに $\int_0^1{f_n} \to \int_0^1f.$ したがって、反例を探す際には、次の場所を探す必要があります。 $f$ リーマン積分ではありません。

助けてくれてありがとう。

Answer 1

古典的な反例は次のとおりです。 $\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}(x)=\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\lim\limits_{m\rightarrow +\infty}\cos(n!\pi x)^{2m}$。しましょう$f_n(x)=\lim\limits_{m\rightarrow +\infty}\cos(n!\pi x)^{2m}$ （これは正の減少シーケンスの限界であるために存在します）、次に存在する $n_0$ そのような $f_{n_0}$ 反例を形成するリーマン積分可能ではありません。 $x\mapsto\cos(n! \pi x)^{2m}$ リーマン積分可能です $m$、どちらか $f_n$ すべてリーマン積分可能ですが、 $\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}$ リーマン積分可能ではなく、 $\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}(x)=\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}f_n(x)$、これは反例です。