場合 $fg$ で継続しています $a$ その後 $g$ で継続しています $a$。

Question

仮定 $f$ そして $g$ 開いた間隔で定義され、有限値になります $I$ を含む $a$、 それ $f$ で継続しています $a$、そしてそれ $f(a) \neq 0$。場合$fg$ で継続しています $a$ その後 $g$ で継続しています $a$。

$\underline{Attempt}$

以来 $f$ で連続しています $a$ そして $fg$ で連続 $a$、

$$\lim_{x\to a}f(x)=f(a) \text{ and } \lim_{x\to a}f(x)g(x)=f(a)g(a)$$

そう

$$\lim_{x\to a} {f(x)g(x)} = \lim_{x\to a}f(x) \lim_{x\to a}g(x)=f(a)\lim_{x\to a}g(x)=f(a)g(a)$$

以来 $f(a) \neq0$

$$\lim_{x\to a}g(x)=g(a)$$

$\therefore g$ で継続しています $a$

Answer 1

あなたの証明は正しくありません。あなたはの存在を想定しています$\lim_{ x \to a} g(x)$ただし、この制限の存在を証明する必要があります。書く$g(x)$ なので $\frac 1 {f{(x)}} {g(x)f(x)}$ それを観察する $f(x) \neq 0$ もし $|x-a| $十分に小さいです。これで、制限が存在し、等しいことがわかります$\frac {f(a)g(a)} {f(a)}=g(a)$。

[が存在します $\delta >0$ そのような $|x-a| <\delta$ 意味する $|f(x)-f(a)| <\frac {|f(a)|} 2$。そう$|x-a| <\delta$ 意味する $|f(x)| >|f(a)| -\frac {|f(a)|} 2=\frac {|f(a)|} 2>0$ など $f(x) \neq 0$]。