場合 $\text{ }\big(x-\frac{1}x\big)=i\sqrt{2}$。次に計算します $\bigg(x^{2187}-\frac{1}{x^{2187}}\bigg)$。ここに $i=\sqrt{-1}$

Question

質問：もし$\text{ }\big(x-\frac{1}x\big)=i\sqrt{2}$ 、 $\text{ }$次に計算します $$\bigg(x^{2187}-\frac{1}{x^{2187}}\bigg)$$ ここに $i=\sqrt{-1}$ 。

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私の答え：私は二次方程式とドモアブルの定理を使用してそれを行いました。私が疑問を提案する前に、私の仕事を書き留めさせてください。これが私がそれをした方法です。

得られた方程式を解く $$x^2-(i\sqrt{2})x-1=0$$ $$\implies x=\frac{i\sqrt{2} \pm \sqrt{(i\sqrt{2})^2+4}}{2} $$ $$\implies x=\frac{i\sqrt{2}\pm\sqrt{2}}{2}$$ 取る $x=(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i)=e^{\frac{i\pi}4}$

今、私たちはそれを知っています $2187=(273\times8)+3$

$$\therefore x^{2187}=e^{2187\times \frac{i\pi}4}=e^{(273\times 2\pi + \frac{3\pi}4)i}=e^{\frac{{3\pi}}{4}i}=\frac{i-1}{\sqrt{2}}$$

$$\therefore x^{2187}-\frac{1}{x^{2187}}= \frac{i-1}{\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{2}}{i-1}$$ $$=\frac{(i-1)^2-2}{(i-1)\sqrt{2}}$$ $$=\frac{2}{\sqrt{2}}\frac{(1+i)}{(1-i)}$$ $$=\frac{\sqrt{2}}{2} (1+i)^2$$ $$=\boxed{\sqrt{2}i}$$

今私の最初の質問は、二次関係が私たちに2つの異なる値を与えたということです$x$。の答えに到達するために私が働いたもの$\sqrt {2}i$ そして他の、 $\big(-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i\big)$私が置き去りにしたもの。今それを使って作業していると、角度が$\frac{\pi}{10}$その後、物事ははるかに複雑になります。これに対する公式の答えは$\sqrt{2}i$ （これは私が見つけたものと一致します）。

私の疑問は、なぜ私たちは他の価値を考慮しないのですか？ $x$ ？

そして、これを解決するための代替の（できればより単純な）方法はありますか？

あなたの助けとサポートを本当にありがとう.. :)

Answer 1

$2187=3^7$。これが手がかりです。の力$3$重要です。今$$\left(x-\frac1x\right)^3=(i\sqrt2)^3=-2i\sqrt2$$ そして $$\left(x-\frac1x\right)^3=x^3-\frac1{x^3}-3\left(x-\frac1x\right) =x^3-\frac1{x^3}-3i\sqrt2.$$ そう $$x^3-\frac1{x^3}=i\sqrt2.$$ これを繰り返して、 $$x^9-\frac1{x^9}=i\sqrt2,$$ $$x^{27}-\frac1{x^{27}}=i\sqrt2$$ など。最終的には、 $$x^{2187}-\frac1{x^{2187}}=i\sqrt2.$$

Answer 2

実際、次の両方の値を確認するのは簡単です。 $x$同じ結果が得られます。問題全体については、ドモアブルの公式が2回必要です（説明のない2行の紙）。

ために $x=\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i$、あなたは答えが $i\sqrt 2$。

さあ、 $x=-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i=\cos \frac{3\pi}{4} + i\sin \frac{3\pi}{4}$。ドモアブルの公式とその事実を使用して$$z-\frac{1}{z}=2i\sin(\arg(z))$$ あなたが得る $$x^{2187}-\frac{1}{x^{2187}} = x^3-\frac{1}{x^3} = 2i\sin\frac{9\pi}{4}=i\sqrt 2$$ 完了！