ベクトル場のソースとシンクのより一般的な定義

Aug 17 2020

私が知る限り、ソースとシンクの定義はそれぞれ発散演算子の観点から与えられています。

つまり、与えられたベクトル場 $\vec{D}$、それは適切なソースを持っています$P$ その発散の場合 $\text{div}\vec{D}$ でポジティブです $P$またはそれが負の場合はシンク。たとえば、電磁気学では、$\text{div}\vec{D} = \rho_v$ どこ $\rho_v$ は体積電荷密度であり、 $\vec{D}$ は電束密度です。

しかし、言いましょう $\vec{D}$ 正の点電荷によって与えられます $q$ にあります $(0,0,0)$ フィールドを作成します

$$\vec{D} = \text{const} \frac{\vec{R}}{|\vec{R}|^3}$$

どこ $\vec{R}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}$。

この場合、 $\text{div}\vec{D}=0$ ただし、どこでも、フィールドがそこから「出現」し、電荷を囲む各表面上の正味のフラックスが正であるため、原点は一種のソースです。

私の質問は：ソースとシンクの他の定義はありますか？おそらく、もう少し一般的で、私が最後に述べたようなより特定のケースを含むものはありますか？

回答

1 LukasMiristwhisky Aug 17 2020 at 01:37

直感的な一般化の1つは、発散定理に由来すると思います。つまり、ベクトル場がある領域で正の発散があることがわかっている場合、その領域の周りのボールの表面上の積分は正になります。それはあなたの例を含みます、なぜならそのように、私たちはで特異点を見る必要がないからです$x = 0$、私たちはその特異点の周りのボールを見るだけです！

で示す $B_r(p)$ 半径の開いた球 $r > 0$ 周り $p$、およびで表す $\partial B_r(p)$ その境界面。

しましょう $U \subset \mathbb{R}^n$ オープンセットであり、そして $p \in \mathbb{R}^n$ あるようにポイント $\epsilon > 0$ 球が $\partial B_r(p)$ に含まれています $U$ すべてのために $r < \epsilon$。

与えられた連続ベクトル場 $X : U \to \mathbb{R^n}$、私たちはそのポイントを言います $p \in U$ は...

...ソース用$X$ ある場合 $\epsilon > 0$ そのため $$ \oint_{\partial B_r(p)} X(y) \, dy > 0 \quad \forall r < \epsilon.$$
...シンク用$X$ ある場合です $\epsilon > 0$ そのため $$ \oint_{\partial B_r(p)} X(y) \, dy < 0 \quad \forall r < \epsilon$$

ベクトル場を拡張して内部全体を滑らかにすることができる場合 $B_r(p)$ 球の $S_r(p)$、次に発散定理は私たちに教えてくれます

$$\oint_{\partial B_r(p)} X(y) \, dy = \int_{B_r(p)} \text{div} X(y) \, dy,$$

そしてあなたの定義はこれを暗示しています $\text{div} X(p) > 0$ 一点で、連続性の議論によって、ボール全体が存在することになります $B_r(p)$ その上で $\text{div} X > 0$。

あなたの例はこの定義に完全に適合し、ゼロ付近のボールの積分を非常に簡単に計算できることがわかります。ポイントゼロ自体に触れることはできませんが、すべて正になります。

私は教科書などから引用しているわけではないので、注意してください。これは合理的な一般化についての私自身の意見です:)

編集：別の方法は、発散の定義を変更することですが、それでもポイントの周りにボールを統合するというこのアイデアを使用しています。たとえば、この質問と回答を参照してください。