ベクトル間の角度としての相関
2つの確率変数間の角度としての相関の幾何学的解釈について少し混乱しています。仮定します$X$ そして $Y$ 平均を持つ2つの変数です $0$ と状態空間 $S=\{\omega_1, \omega_2,\omega_3\}$。次に$$Var(X)=X(\omega_1)^2\mathbb{P}(\omega_1)+X(\omega_2)^2\mathbb{P}(\omega_2)+X(\omega_3)^2\mathbb{P}(\omega_3)$$ $$Var(Y)=Y(\omega_1)^2\mathbb{P}(\omega_1)+Y(\omega_2)^2\mathbb{P}(\omega_2)+Y(\omega_3)^2\mathbb{P}(\omega_3)$$ $$Cov(X,Y)=X(\omega_1)Y(\omega_1)\mathbb{P}(\omega_1)+X(\omega_2)Y(\omega_2)\mathbb{P}(\omega_2)+X(\omega_3)Y(\omega_3)\mathbb{P}(\omega_3)$$ そして相関関係 $$\rho_{X,Y}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{Var(X)Var(Y)}}=\frac{X(\omega_1)Y(\omega_1)\mathbb{P}(\omega_1)+X(\omega_2)Y(\omega_2)\mathbb{P}(\omega_2)+X(\omega_3)Y(\omega_3)\mathbb{P}(\omega_3)}{\sqrt{(X(\omega_1)^2\mathbb{P}(\omega_1)+X(\omega_2)^2\mathbb{P}(\omega_2)+X(\omega_3)^2\mathbb{P}(\omega_3))(Y(\omega_1)^2\mathbb{P}(\omega_1)+Y(\omega_2)^2\mathbb{P}(\omega_2)+Y(\omega_3)^2\mathbb{P}(\omega_3))}}$$ 2つのベクトルを定義しない限り、これが2つのベクトル間の角度であることがわかりません $$x=[X(\omega_1)\sqrt{\mathbb{P}(\omega_1)}, X(\omega_2)\sqrt{\mathbb{P}(\omega_2)}, X(\omega_3)\sqrt{\mathbb{P}(\omega_3)}]$$ $$y=[Y(\omega_1)\sqrt{\mathbb{P}(\omega_1)}, Y(\omega_2)\sqrt{\mathbb{P}(\omega_2)}, Y(\omega_3)\sqrt{\mathbb{P}(\omega_3)}]$$ その場合、私はそれを見る $$\rho_{X,Y}=\frac{<x,y>}{\sqrt{<x,x><y,y>}}=\cos\theta$$ どこ $\theta$ 間の角度です $x$ そして $y$。これは（関連する確率の平方根で重み付けされた各状態の値のベクトルを定義するように）解釈する正しい方法ですか？
回答
これはほぼ正しいです。そのような幾何学的解釈を与えるには、あなたがしたのとまったく同じように進み、2つのことを定義する必要があります。
- 確率変数はどのようにベクトルとして解釈されますか？
- これらのベクトル間のスカラー積（または同等の長さと角度）はどのように定義されますか？
1.の解釈は、ベクトルとしての関数の単なる標準的な解釈です。つまり、確率変数は状態空間をにマップします$\mathbb{R}$したがって、それらは他のすべての実関数などのベクトルです。あなたの場合、状態空間は有限であるため、ベクトル空間は有限次元です。あなたはそれを識別することができます$\mathbb{R}^3$あなたが提案した通りですが、確率は組み込まれていません！つまり、確率変数$X$ ベクトルに関連する $(X(\omega_1), X(\omega_2), X(\omega_3)).$
確率は2の場合にのみ入力されます。ゼロの積の期待値が確率変数を意味することに注意してください。 $\mathbb{E}[XY]$ スカラー積のすべての条件を満たすこれは双線形、対称（かなり明らかに）であり、 $\mathbb{E}[X^2]=0 \implies X=0$ ae
だからあなたは単に定義します $<X,Y>=\mathbb{E}[XY]$ 角度を測定する準備ができました！