微分方程式\高次

Question

私はこのタスクを解決するのに助けが必要です、誰かが同様の問題を抱えていればそれは私を助けるでしょう。

タスクは次のとおりです。微分方程式の一般解を見つける

$$ y''-y' - 2y=e^{2x} \cos^2 x$$

均質の場合、次のようになります。

$$y_H=c_1e^{2x}+c_2e^{-x}$$

私は特定の問題を抱えています、私は試しました：

$$y=(A\sin^2x+B\cos^2x)e^{2x}\\y'=(2A\sin x \cos x + 2B \sin x \cos x) e^{2x} +(A\sin^2 x + B \cos ^2 x) 2e^{2x}\\y''=2e^{2x}(2A \sin x \cos x - 2B \sin x \cos x + A\sin^2 x +B \cos^2 x)$$

これが正しいかどうかわかりませんか？

ここから次に何が起こるかわかりません..

前もって感謝します ！

Answer 1

$$y''-y' - 2y=e^{2x} \cos^2 (x)$$ 以来 $r^2-r-2=(r+1)(r-2)$、 $y=e^{2x}\,z$ 作る $$z''+3z'=\cos^2 (x)=\frac 12+\frac 12 \cos(2 x)$$ 注文の削減 $p=z'$ 取得する $$p'+3p=\frac 12+\frac 12 \cos(2 x)$$ 作る $p=q+\frac 16$ $$q'+3q=\frac 12 \cos(2 x)\implies q=c_1 e^{-3 x}+\frac{1}{26} (2 \sin (2 x)+3 \cos (2 x))$$ $$p=z'=\frac 16+c_1 e^{-3 x}+\frac{1}{26} (2 \sin (2 x)+3 \cos (2 x))$$ $$z=\frac 16 x +c_2 e^{-3 x}+\frac{1}{52} (3 \sin (2 x)-2 \cos (2 x))+c_3$$ $$y=e^{2x}\,z=\frac 16 xe^{2x}+c_2 e^{- x}+\frac{1}{52} (3 \sin (2 x)-2 \cos (2 x))e^{2x}+c_3e^{2x}$$ 因数分解によって単純化します。

Answer 2

あなたの均質な解決策は正しいです。

ご了承ください $\cos^2(x)=\frac{1}{2}(1+\cos(2x))$、したがって、特定のソリューションは次の形式である必要があります $$y_{p}(x)=Axe^{2x}+Be^{2x}\cos(2x)+Ce^{2x}\sin(2x).$$

代入すると、 $A=\frac{1}{6}$、 $B=-\frac{1}{26}$ そして $C=\frac{3}{52}$。

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$$y'_p=2C\mathrm{e}^{2x}\sin\left(2x\right)-2B\mathrm{e}^{2x}\sin\left(2x\right)+2C\mathrm{e}^{2x}\cos\left(2x\right)+2B\mathrm{e}^{2x}\cos\left(2x\right)+2Ax\mathrm{e}^{2x}+A\mathrm{e}^{2x}$$

そして $$y''_p=\mathrm{e}^{2x}\left(-2\left(2C+2B\right)\sin\left(2x\right)+2\left(2C-2B\right)\cos\left(2x\right)+2A\right)$$ $$+2\mathrm{e}^{2x}\left(\left(2C-2B\right)\sin\left(2x\right)+\left(2C+2B\right)\cos\left(2x\right)+2Ax+A\right)$$

だから私たちは持っています $$y''_p-y'_p-2y_p$$ $$=e^{2x}\big[\cos(2x)(4C-4B+4C+4B-2C-2B-2B)+\sin(2x)(-4C-4B+4C-4B-2C+2B-2C)+2A+4Ax+2A-2Ax-A-2Ax\big]$$ $$=e^{2x}\big[\cos(2x)(6C-4B)+\sin(2x)(-4C-6B)+3A\big]$$ $$=\frac{e^{2x}}{2}(1+\cos(2x)).$$

だから私たちは持っています $3A=\frac{1}{2}\implies A=\frac{1}{6}$、 $6C-4B=\frac{1}{2}$ そして $-4C-6B=0$ 与える $C=\frac{3}{52}$ そして $B=-\frac{1}{26}$。

Answer 3

解決する必要があります $$\text{ODE:}\quad \boxed{y''-y'-2y=e^{2x}\cos^{2}(x)}$$ 一般的な解決策は、補完的な解決策と特定の解決策の合計になります。 $$\text{solution general=solution complementary+particular solution}$$それは $$y(x)=y_{c}(x)+y_{p}(x)$$

補完的な解決策：解決する必要があります$$y''-y'-2y=0$$しましょう $y=e^{rx}$、だから私たちは持っています $$(r^{2}-r-2)e^{rx}=0 \implies (r-2)(r-1)=0 \implies r=-1 \quad \vee \quad r=2$$。つまり、基本的なセットソリューションがあります$\{e^{-x},e^{2x}\}$。したがって、$$\boxed{y_{c}(x)=c_{1}e^{-x}+c_{2}e^{2x}}$$ どこ $c_{1},c_{2}$ 定数です。

特定の解決策：未定係数の方法を使用するので、$$y''-y'-2y=e^{2x}\cos^{2}(x) \iff y''-y'-2y=\frac{e^{2x}}{2}+\frac{1}{2}e^{2x}\cos(2x)$$ 特定のソリューションは、次の特定のソリューションの合計になります。 $$y''-y'-2y=\frac{e^{2x}}{2}$$ そして $$y''-y'-2y=\frac{1}{2}e^{2x}\cos(2x)$$ さて、への特定の解決策 $y''-y'-2y=\frac{e^{2x}}{2}$ の形式です $y_{p_{1}}(x)=x(a_{1}e^{2x})$ どこ $a_{1}e^{2x}$ を掛けた $x$ を説明する $e^{2x}$ 補完的なソリューションで。

そして、への特定の解決策 $y''-y'-2y=\frac{1}{2}e^{2x}\cos(2x)$ の形式です $y_{p_{2}}(x)=a_{2}e^{2x}\cos(2x)+a_{3}e^{2x}\sin(2x)$。さて、合計$y_{p_{1}}$ そして $y_{p_{2}}$ 取得する $y_{p}$、それは言うことです $$y_{p}(x)=a_{1}xe^{2x}+a_{2}e^{2x}\cos(2x)+a_{3}e^{2x}\sin(2x)$$

未知の定数を解きます $a_{1},a_{2}$ そして $a_{3}$ 我々は持っています $$a_{1}=\frac{1}{6}, \quad a_{2}=-\frac{1}{26} \quad \text{and} \quad a_{3}=\frac{3}{52}$$ だから、私たちは持っています $$\boxed{y_{p}(x)=\frac{1}{6}xe^{2x}-\frac{1}{26}e^{2x}\cos(2x)+\frac{3}{52} e^{2x}\sin(2x)}$$ 最終的に $$\color{blue}{\boxed{y(x)=c_{1}e^{-x}+c_{2}e^{2x}+\frac{1}{6}xe^{2x}-\frac{1}{26}e^{2x}\cos(2x)+\frac{3}{52} e^{2x}\sin(2x)}}$$どこ $c_{1}$ そして $c_{2}$ 定数です。

Answer 4

$$y''-y' - 2y=e^{2x} \cos^2 x$$ $$y''e^{-2x}-2y'e^{-2x} +y'e^{-2x}- 2ye^{-2x}=\cos^2 x$$ $$(y'e^{-2x})' +(ye^{-2x})'=\cos^2 x$$ $$(e^{-2x}(ye^{x})')'=\cos^2 x$$ $$(e^{-2x}(ye^{x})')'=\dfrac 12(\cos(2 x)+1)$$ 両側を統合します。

Answer 5

ヒント：

の特定のソリューションについて $\;y''-y'-2y=\mathrm e^{2x}\cos^2x$、私は最初に線形化します $\cos^2x$： $$\mathrm e^{2x}\cos^2x=\frac12\mathrm e^{2x}(1+\cos 2x), $$次に、重ね合わせの原理を適用します。つまり、次の特定の解を決定します。

• $y''-y'-2y=\mathrm e^{2x}$： なので $2$ は特性方程式の単純な根であり、特定の解は次の形式で見つけることができます。 $$y_0(x)=c_0x\mathrm e^{2x}$$ 適切な $c_0$。
• $y''-y'-2y=\mathrm e^{2x}\cos 2x=\operatorname{Re}\bigl(\mathrm e^{2(1+i)x}\bigr)$、これは、rhsが次の場合の特定のソリューションの実数部です。 $\mathrm e^{2(1+i)x}$。なので$2(1+i)$は特性方程式の解ではありません。この特定の解は次の形式になります。$$y_1(x)=c_1\mathrm e^{2(1+i)x} $$先験的に注意してください $c_1$ 複素数になるので、の実数部を決定する必要があります $\:c_1\mathrm e^{2(1+i)x}$。

あなたは簡単に見つけるでしょう $c_0$ そして $c_1$ 識別し、元の方程式の特定の解を次のように推定します。 $$\frac12(y_0(x)+\operatorname{Re}\bigl(y_1(x)\bigr).$$